Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

61. Шкала бесконечно малых.

Иной раз встречается надобность в более точной сравнительной характеристике поведения бесконечно малых, в выражении их порядков числами. В этом случае, прежде всего, в качестве своего рода «эталона» выбирают одну из фигурирующих в данном исследовании бесконечно малых (скажем, а); ее называют основной. Конечно, выбор основной бесконечно малой в известной мере произволен, но обычно берут простейшую из всех. Если рассматриваемые величины, как мы предположили, являются функциями от х и становятся бесконечно малыми при стремлении х к а, то в зависимости от того, будет ли а нулем, конечным и отличным от нуля числом или бесконечностью, естественно за основную бесконечно малую взять, соответственно

Далее, из степеней основной бесконечно малой а (мы будем считать с различными положительными показателями, составляют как бы шкалу для оценки бесконечно малых более сложной природы.

III. Уславливаются считать бесконечно малую величиной порядка (относительно основной бесконечно малой если будут величинами одного порядка, т. е. если отношение имеет конечный и отличный от нуля предел.

Теперь, например, можно, не довольствуясь утверждением, что бесконечно малые будут величинами высшего порядка, чем сказать точно, что первые две из них суть бесконечно малые второго порядка, а последняя — третьего порядка относительно ибо [56, 4); 5), (а) и (б)]

Чтобы взять более сложный пример, рассмотрим выражение

при оно будет бесконечно малым, что становится ясным, если представить его в виде

Продолжая это преобразование, найдем:

Полагая теперь уже нетрудно сообразить, что

Таким образом, здесь порядок выражается числом

Не следует думать, конечно, что для всякой бесконечно малой (даже сравнимой со всеми степенями может быть установлен определенный порядок.

Любопытные примеры, относящиеся сюда, можно получить из формул, установленных в 54, 4) и

Прежде всего, отсюда

Заменив теперь здесь х на — и положив еще в первом из этих соотношений мы получим:

Таким образом, бесконечно малая будет высшего порядка, чем все степени в то время как бесконечно малая оказывается низшего порядка, чем все эти степени.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление