Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

63. Выделение главной части.

Если выбрана основная бесконечно малая а, то простейшими бесконечно малыми естественно считать величины вида где с - постоянный коэффициент и . Пусть бесконечно малая будет порядка относительно а, т. е.

где с - конечное и отличное от нуля число. Тогда

и бесконечно малые оказываются эквивалентными:

Эта простейшая бесконечно малая эквивалентная данной бесконечно малой , называется ее главной частью (или главным членом).

Пользуясь установленными выше результатами, кроме уже указанных простых примеров, легко выделить главные части выражений:

Здесь и именно является основной бесконечно малой.

Наконец, если и за основную принята бесконечно малая то имеем также

Все эти результаты снова приводят к приближенным формулам.

Пусть где Можно представить себе, что из бесконечно малой у снова выделен главный член: где к

Например, если положить (считая ):

то, как мы уже имели [56, 4)],

так что главная часть у есть . Отсюда

В частности,

Этот процесс последовательного выделения из бесконечно малой простейших бесконечно малых все возрастающих порядков можно продолжать и дальше.

Мы ограничиваемся в настоящем параграфе установлением общих понятий, иллюстрируя их лишь немногими примерами. В последующем мы укажем систематический прием как для построения главной части данной бесконечно малой величины, так и для дальнейшего выделения из нее простейших бесконечно малых, о котором только что шла речь [см. 104, 124].

В заключение, остановимся еще на таком вопросе: если для двух бесконечно малых и у известны их главные члены что можно сказать о главном члене их суммы

При главным членом ее, очевидно, будет тот из членов в котором показатель меньше. Пусть теперь тогда главной частью для явится сумма - в предположении, однако, что . В случае же, когда оба главных члена взаимно уничтожаются, сумма оказывается бесконечно малой высшего порядка, чем каждое из слагаемых.

Так будет, например, при для бесконечно малых

Если выделить в них еще следующие члены:

то ясно, что

так что будет бесконечно малой второго порядка, а ее главный член равен

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление