Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

64. Задачи.

Для иллюстрации изложенных соображений приведем несколько задач, в которых они используются.

1) Пусть прямолинейное расстояние на местности измеряется с помощью мерной рейки длины Так как фактически рейка прикладывается не точно вдоль измеряемой прямой, то результат измерения оказывается несколько больше истинной длины. Сделаем самое невыгодное предположение, именно, что рейка прикладывается зигзагом, так что ее концы отстоят от прямой поочередно то в одну, то в другую сторону на расстояние (рис. 25). Требуется оценить погрешность.

Рис. 25.

При однократном прикладывании рейки абсолютная погрешность равна разности между длиной рейки и ее проекцией на измеряемую прямую; проекция же эта будет:

Воспользовавшись приближенной формулой

при (что оправдано, ввиду малости величины относительно заменим выражение для проекции следующим:

В таком случае, упомянутая погрешность есть , а относительная погрешность, очевидно, будет Та же относительная погрешность сохранится и при многократном прикладывании рейки.

Если для этой погрешности установлена граница т. е. должно быть то отсюда

Например, при измерении двухметровой рейкой для достижения относительной точности в 0,001 достаточно, чтобы уклонение X не превосходило см.

2) Найти формулу для длины открытого ремня, надетого на данную пару шкивов радиусов и с расстоянием между центрами (рис. 26).

Из чертежа имеем

Но где через а обозначены равные углы

Таким образом,

Для упрощения этой формулы вспомним, что

— в предположении, что мало относительно . В том же предположении После подстановки этих значений и преобразований, получим окончательную формулу:

Рис. 26.

3) При разбивке дуг окружностей на местности имеет значение следующая задача: найти отношение стрелы дуги окружности к стреле половины этой дуги (рис. 27).

Если положить радиус окружности равным то

Таким образом, искомое отношение равно

Выражение это слишком сложно, чтобы им удобно было пользоваться на практике. Найдем его предел при для достаточно малых это выражение можно приближенно заменить его пределом).

С этой целью заменяем числитель и знаменатель их главными частями и сразу находим:

Рис. 27.

Итак, для дуг, соответствующих небольшому центральному углу, приближенно можно считать, что стрела полудуги вчетверо меньше стрелы дуги. Это позволяет последовательно строить промежуточные точки дуги, для которой даны концы и середина.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление