Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

69. Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов.

Выше с помощью равенства (1) мы определили понятие непрерывности функций в точке При этом, вычисляя предел (1), мы могли приближать и справа, и слева. Установим теперь понятие об односторонней непрерывности или одностороннем разрыве функции в данной точке.

Говорят, что функция непрерывна в точке справа (слева), если выполняется предельное соотношение:

Если же то или другое из этих соотношений не осуществляется, то функция имеет в точке разрыв, соответственно, справа или слева.

По отношению к левому (правому) концу промежутка X, в котором функция определена, может идти речь, очевидно, только о непрерывности или разрыве справа (слева). Если же есть внутренняя точка промежутка X, т. е. не совпадает ни с одним из его концов, то для того, чтобы выполнялось равенство (1), выражающее непрерывность функции в точке в обычном смысле, необходимо и достаточно, чтобы имели место сразу оба равенства (3) [52]. Иными словами, непрерывность функции в точке равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно справа и слева.

Остановимся подробнее на вопросе о непрерывности и разрыве функции в точке скажем, справа. Предполагая, что функция в некотором промежутке справа от этой точки определена, видим, что для непрерывности необходимо и достаточно: во-первых, чтобы существовал конечный предел функции при стремлении справа, и, во-вторых, чтобы этот предел был равен значению функции в точке

Поэтому легко дать себе отчет в том, при каких обстоятельствах для функции в точке справа появляется разрыв. Может случиться, что хотя конечный предел и существует, но он не равен значению такой разрыв называют обыкновенным или разрывом первого рода Но может быть и так, что предел бесконечен, или его вовсе нет; тогда говорят о разрыве второго рода.

В следующем п° мы приведем примеры этих разрывов.

Замечание. Если в точке функция не определена (см. замечание в 66), то восстановить непрерывность функции в этой точке можно лишь, если существуют оба конечных предела и равны между собой.

Если какой-либо из этих пределов бесконечен или вовсе не существует, то говорят о наличии разрыва второго рода с соответствующей стороны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление