Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

72. Непрерывность элементарных функций.

Для ряда элементарных функций непрерывность была доказана под видом примеров в 68. Пользуясь теоремой 2° предыдущего номера, легко, прежде всего, наново установить непрерывность функции или

Функция монотонно возрастает при изменении я: в промежутке Ее значения положительны и заполняют весь промежуток что видно из существования логарифма для любого Следовательно, показательная функция непрерывна при любом значении х.

Аналогично, непрерывность функции скажем, при изменении х в промежутке вытекает из ее монотонности в этом промежутке, да еще из того факта (устанавливаемого геометрически), что при этом она принимает каждое значение между - 1 и То же относится и к любому промежутку вида

Однако более интересны для нас новые результаты, которые так же легко могут быть получены применением названной теоремы. Продолжим перечисление основных элементарных функций, начатое в 68.

5° Логарифмическая функция: а 1). Ограничиваясь случаем 1, видим, что эта функция возрастает при изменении х в промежутке . К тому же она, очевидно,

принимает любое значение у из промежутка , именно, для Отсюда - ее непрерывность.

6° Степенная функция: при возрастании х от 0 до возрастает, если и убывает, если При этом она принимает любое положительное значение у (для следовательно, и она непрерывна.

Наконец, упомянем

7° Обратные тригонометрические функции:

Первые две непрерывны в промежутке а последние - в промежутке Доказательство предоставляем читателю.

Резюмируя, можно сказать, таким образом, что основные элементарные функции оказываются непрерывными во всех точках, где они имеют смысл (т. е. в соответствующих естественных областях их определения).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление