Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

74. Решение одного функционального уравнения.

Для облегчения изложения в ближайшем п°, займемся сейчас следующей задачей (которая представляет и самостоятельный интерес):

Найти все непрерывные в промежутке функции удовлетворяющие условию

каковы бы ни были значения х и у.

Уравнение (А) является простейшим примером так называемых функциональных уравнений, формулирующих некое свойство искомой функции, по которому она и должна быть найдена. Наша задача состоит в разыскании всех непрерывных решений уравнения (А).

Легко видеть, что линейные однородные функции, вида

удовлетворяют этому уравнению:

По весь вопрос именно в том, будут ли они единственными непрерывными функциями, имеющими свойства (А).

Для того чтобы установить, что это действительно так, предположим, что некоторая непрерывная функция уравнению (А) удовлетворяет, и покажем, что тогда она необходимо имеет вид (а).

Прежде всего, с помощью метода математической индукции легко обобщить соотношение (А) на случай любого числа слагаемых:

Действительно, если допустить верность его для какого-либо числа слагаемых, то оно окажется верным и для слагаемых:

Полагая в найдем:

Заменив здесь х на — х, мы получим

а затем, если подставить — натуральное) вместо и использовать предыдущее равенство, придем к соотношению

Положим теперь в основном уравнении получим

Если же взять то, с учетом (7), найдем:

так что функция меняет знак при изменении знака х. А тогда из (5) и (6) легко вывести:

и, аналогично, вообще

Полученные соотношения могут быть объединены в равенстве

справедливом для любого вещественного значения х, каково бы ни было рациональное число

Если взять здесь и обозначить через с, то получим

Таким образом, мы, собственно говоря, установили уже вид функции но пока лишь для рациональных значений аргумента. При этом мы использовали только тот факт, что функция удовлетворяет условию (А), и не опирались на ее непрерывность.

Пусть теперь будет любое иррациональное значение аргумента. Легко построить стремящуюся к нему последовательность рациональных чисел

(можно, например, взять отрезки соответствующей бесконечной десятичной дроби). Мы только что видели, что

Перейдем здесь к пределу при справа мы получим слева же, именно ввиду предположенной непрерывности функции получится

так что, окончательно,

Таким образом, действительно, наша функция при всех вещественных значениях аргумента выражается формулой (а). Эта формула дает самое общее решение уравнения (А) в непрерывных функциях.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление