Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. Вспомогательные предложения.

Установим теперь свойство плотности области всех вещественных чисел (ср. точнее, мы докажем следующее утверждение:

Лемма 1. Каковы бы ни были два вещественных числа а и причем всегда найдется рациональное число заключенное между ними (а следовательно - бесчисленное множество таких рациональных чисел).

Так как то нижний класс А сечения, определяющего число а, целиком содержит в себе нижний класс В для числа не совпадая с В. Поэтому в А найдется такое рациональное число которое не содержится в В и, следовательно, принадлежит В; для него

(равенство могло бы иметь место, лишь если рационально). Но так как в А нет наибольшего числа, то, в случае надобности, увеличив можно исключить равенство.

Замечание. Установив, что между вещественными числами а и (если необходимо содержится рациональное (а не только вещественное) число, мы фактически доказали более сильное свойство области вещественных чисел, чем плотность. В дальнейшем нам придётся пользоваться этой усиленной плотностью.

Отсюда непосредственно получается

Лемма 2. Пусть даны два вещественных числа а и . Если, какое бы ни взять число числа а и могут быть заключены между одними и теми же рациональными границами s и s:

разность которых меньше

то числа необходимо равны.

Доказательство будем вести от противного. Пусть, например, По лемме 1, между а и можно вставить два рациональных числа

Тогда для любых двух чисел s и между которыми содержатся а и будут, очевидно, выполняться неравенства

откуда

так что разность , вопреки условию леммы, не может быть сделана, например, меньшей числа Это противоречие доказывает лемму.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление