Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

85. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Мы знаем, что бесконечное числовое множество, даже ограниченное, может не иметь в своем составе наибольшего (наименьшего) элемента. Если функция определена и даже ограничена в некотором промежутке изменения х, то в составе множества ее значений может не оказаться наибольшего (наименьшего). В этом случае точная верхняя (нижняя) граница значений функции

не достигается в названном промежутке. Так будет обстоять дело, например, с функцией

(график ее представлен на рис. 33). При изменении х в любом промежутке точной верхней границей значений функции будет 1, но она не достигается, так что наибольшего значения функция не имеет.

Рис. 33.

Читателю, вероятно, ясна связь этого обстоятельства с наличием у рассматриваемой функции разрывов при натуральных значениях х. Действительно, для непрерывных в замкнутом промежутке функций имеет место: Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке то она достигает в этом промежутке своих точных верхней и нижней границ.

Иными словами, в промежутке найдутся такие точки что значения будут, соответственно, наибольшим и наименьшим из всех значений функции

I-е доказательство. Положим

по предыдущей теореме, это число - конечное. Предположим (вопреки тому, что нужно доказать), что всегда т. е. что граница М не достигается. В таком случае, можно рассмотреть вспомогательную функцию

Так как, по предположению, знаменатель здесь в нуль не обращается, то эта функция будет непрерывна, а следовательно (по предыдущей теореме) ограничена: Но отсюда легко получить, что тогда

т. е. число меньшее, чем М, оказывается верхней границей для множества значений функции чего быть не может, ибо М есть точная верхняя граница этого множества. Полученное противоречие доказывает теорему: в промежутке найдётся такое значение что будет наибольшим из всех значений

Аналогично может быть доказано утверждение и относительно наименьшего значения.

II-е доказательство. Можно и здесь исходить из леммы Больцано-Вейерштрасса [41]. Ограничимся утверждением о наибольшем значении. Если, как и только что,

то по свойству точной верхней границы для любого найдется такое что

Тогда из последовательности может быть извлечена частичная последовательность сходящаяся к некоторому значению из так что, ввиду непрерывности функции, и

В то же время из (5) имеем

Но не может быть больше верхней границы М множества значений функции и, следовательно,

что и требовалось доказать.

Отметим, что оба приведенные доказательства суть чистые «доказательства существования». Средств для вычисления, например, значения никаких не дано. Впоследствии [в главе IV, § 1], правда, при более тяжелых предположениях относительно функции, мы научимся фактически находить значения независимой переменной, доставляющие функции наибольшее или наименьшее значения.

Если функция при изменении х в каком-либо промежутке X, ограничена, то ее колебанием в этом промежутке называется разность

Иначе можно определить колебание со как точную верхнюю границу множества всевозможных разностей где принимают независимо одно от другого произвольные значения в промежутке X:

Когда речь идет о непрерывной функции в замкнутом конечном промежутке то, как следует из доказанной теоремы, колебанием будет попросту разность между

наибольшим и наименьшим значениями функции в этом промежутке.

В этом случае промежуток значений функции есть замкнутый промежуток , и колебание дает его длину.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление