Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

91. Задача о проведении касательной к кривой.

Пусть дана кривая (К) (рис. 37) и на ней точка М; обратимся к установлению самого понятия касательной к кривой в ее точке М.

Рис. 37.

В школьном курсе касательную к окружности определяют как «прямую, имеющую с кривой лишь одну общую точку». Но это определение имеет частный характер, не вскрывая существа дела. Если попытаться применить его, например, к параболе (рис. 38 а), то в начале координат О обе координатные оси подошли бы под это определение; между тем, - как, вероятно, непосредственно ясно и читателю, - на деле лишь ось х служит касательной к параболе в точке

Мы дадим сейчас общее определение касательной. Возьмем на кривой (К) (рис. 37), кроме точки М, еще точку и проведем

секущую Когда точка будет перемещаться вдоль по кривой, эта секущая будет вращаться вокруг точки М.

Касательной к кривой (К) в точке М называется предельное положение секущей когда точка вдоль по кривой стремится к совпадению с М. (Смысл этого определения состоит в том, что угол становится сколь угодно малым, лишь только достаточно мала хорда

Применим для примера это определение к параболе в любой ее точке Так как касательная проходит через эту точку, то для уточнения ее положения достаточно знать еще ее угловой коэффициент.

Рис. 38.

Мы и поставим себе задачей найти угловой коэффициент а касательной к точке М.

Придав абсциссе х приращение от точки М кривой перейдем к точке с абсциссой и ординатой

(рис. 38, а). Угловой коэффициент секущей определится из прямоугольного . В нем катет равен приращению абсциссы а катет очевидно, есть соответствующее приращение ординаты

так что

Для получения углового коэффициента касательной, как легко понять, нужно перейти здесь к пределу при Мы приходим таким образом к результату:

Заметим попутно, что отсюда вытекает удобный прием для фактического построения касательной к параболе. Именно, из (рис. 38, б), отрезок

так что Т есть середина отрезка Итак, для того чтобы получить касательную к параболе в ее точке М, достаточно разделить пополам отрезок и середину его соединить с точкой

В случае любой кривой, с уравнением

угловой коэффициент касательной устанавливается подобным же образом. Приращению абсциссы отвечает приращение ординаты, и отношение

выражает угловой коэффициент секущей, Угловой же коэффициент касательной получается отсюда путём перехода к пределу при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление