Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

97. Простейшие правила вычисления производных.

В предыдущих мы вычислили производные для элементарных функций. Здесь и в следующем п° мы установим ряд простых правил, с помощью которых станет возможным вычисление производной для любой

функции, составленной из элементарных при посредстве конечного числа арифметических действий и суперпозиций [51].

I. Пусть функция имеет (в определенной точке производную и. Докажем, что и функция также имеет производную (в той же точке), и вычислим ее.

Если независимая переменная х получит приращение то функция и получит приращение перейдя от исходного значения и к значению Новое значение функции у будет Отсюда и

Итак, производная существует и равна

Эта формула выражает такое правило: постоянный множитель может быть вынесен за знак производной.

II. Пусть функции имеют (в определенной точке) производные и, Докажем, что функция также имеет производную (в той же точке), и вычислим ее.

Придадим х приращение тогда и, и у получат, соответственно, приращения Их новые значения и связаны тем же соотношением:

Отсюда

и

так что производная у существует и равна

Этот результат легко может быть распространен на любое число слагаемых (и притом - тем же методом).

III. При тех же предположениях относительно функций и, докажем, что функция также имеет производную, и найдем ее.

Приращению отвечают, как и выше, приращения при этом так что

и

Так как при в силу 96, 2°, и , то

т. e. существует производная и равна

Если причем и, существуют, то

Легко сообразить, что для случая сомножителей будем иметь аналогично:

Для того чтобы доказать это, воспользуемся методом математической индукции. Предположим, что формула (4) верна для некоторого числа сомножителей, и установим ее справедливость для и сомножителей:

если производную развернуть по формуле (4), то придем к формуле

совершенно аналогичной (4). Так как в верности формулы (4) при и 3 мы убедились непосредственно, то эта формула верна при любом

IV. Наконец, если и, удовлетворяют прежним предположениям и, кроме того, отлично от нуля, то мы докажем, что функция также имеет производную, и найдем ее.

При тех же обозначениях, что и выше, имеем

так что

и

Устремляя здесь к нулю (причем одновременно и убеждаемся в существовании производной

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление