Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2

  

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 810 с.

Второй том «Курса.» посвящен теории интеграла от функции одной вещественной переменной и теории рядов и предназначен, прежде всего, для студентов первых двух курсов негуманитарных вузов. Исключительно подробное, полное и снабженное многочисленными примерами изложение включает такие классические разделы анализа, как неопределенный интеграл и методы его вычисления, определенный интеграл Римана, несобственный интеграл, числовые и функциональные ряды, интегралы, зависящие от параметра, и др. Подробно излагаются и некоторые мало представленные или совсем не представленные в элементарных учебниках темы: бесконечные произведения, формула суммирования Эйлера-Маклорена и ее приложения, асимптотические разложения, теория суммирования и приближенные вычисления с помощью расходящихся рядов и др. Являясь одним из лучших систематических учебников по интегральному исчислению и, одновременно, уникальной коллекцией конкретных фактов, связанных с рядами и интегралами, данная книга, безусловно, будет полезна как учащимся, так и преподавателям высшей математики, а также специалистам различных профилей, использующим математику в своей работе, в том числе, математикам, физикам и инженерам.



Оглавление

ГЛАВА ВОСЬМАЯ. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
264. Интеграл и задана об определении площади.
265. Таблица основных интегралов.
266. Простейшие правила интегрирования.
267. Примеры.
268. Интегрирование путем замены переменной.
269. Примеры.
270. Интегрирование но частям.
271. Примеры.
§ 2. Интегрирование рациональных выражений
273. Простые дроби и их интегрирование.
274. Разложение правильных дробей на простые.
275. Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей.
276. Выделение рациональной части интеграла.
277. Примеры.
§ 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы
279. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры.
280. Формулы приведения.
281. Интегрирование выражений вида ... Подстановки Эйлера.
282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок.
283. Примеры.
284. Другие приемы вычисления.
285. Примеры.
§ 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и показательную функции
287. Интегрирование выражений ...
288. Примеры.
289. Обзор других случаев.
§ 5. Эллиптические интегралы
291. Вспомогательные преобразования.
292. Приведение к канонической форме.
293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение и условия существования определенного интеграла
295. Определение.
296. Суммы Дарбу.
297. Условие существования интеграла.
298. Классы интегрируемых функций.
299. Свойства интегрируемых функций.
300. Примеры и дополнения.
301. Нижний и верхний интегралы как пределы.
§ 2. Свойства определенных интегралов
303. Свойства, выражаемые равенствами.
304. Свойства, выражаемые неравенствами.
305. Определенный интеграл как функция верхнего предела.
306. Вторая теорема о среднем значении.
§ 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов
308. Основная формула интегрального исчисления.
309. Примеры.
310. Другой вывод основной формулы.
311. Формулы приведения.
312. Примеры.
313. Формула замены переменной в определенном интеграле.
314. Примеры.
315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена.
316. Другой вывод формулы замены переменной.
§ 4. Некоторые приложения определенных интегралов
318. Формула Тейлора с дополнительным членом.
319. Трансцендентность числа е.
320. Многочлены Лежандра.
321. Интегральные неравенства.
§ 5. Приближенное вычисление интегралов
323. Параболическое интерполирование.
324. Дробление промежутка интегрирования.
325. Дополнительный член формулы прямоугольников.
326. Дополнительный член формулы трапеций.
327. Дополнительный член формулы Симпсона.
328. Примеры.
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
§ 1. Длина кривой
330. Другой подход к определению понятия длины кривой и ее вычислению.
331. Примеры.
332. Натуральное уравнение плоской кривой.
333. Примеры.
334. Длина дуги пространственной кривой.
§ 2. Площади и объемы
336. Площадь как предел.
337. Классы квадрируемых областей.
338. Выражение площади интегралом.
339. Примеры.
340. Определение понятия объема. Его свойства.
342. Выражение объема интегралом.
343. Примеры.
344. Площадь поверхности вращения.
345. Примеры.
346. Площадь цилиндрической поверхности.
347. Примеры.
§ 3. Вычисление механических и физических величин
349. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой.
350. Примеры.
351. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры.
352. Примеры.
353. Механическая работа.
354. Примеры.
355. Работа силы трения в плоской пяте.
356. Задачи на суммирование бесконечно малых элементов.
§ 4. Простейшие дифференциальные уравнения
358. Уравнения первой степени относительно производной. Отделение переменных.
359. Задачи.
360. Замечания о составлении дифференциальных уравнений.
361. Задачи.
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
363. Примеры.
364. Основные теоремы.
§ 2. Сходимость положительных рядов
366. Теоремы сравнения рядов.
367. Примеры.
368. Признаки Коши и Даламбера.
369. Признак Раабе.
370. Примеры.
371. Признак Куммера.
372. Признак Гаусса.
373. Интегральный признак Маклорена—Коши.
374. Признак Ермакова.
375. Дополнения.
§ 3. Сходимость произвольных рядов
377. Абсолютная сходимость.
379. Степенной ряд, его промежуток сходимости.
380. Выражение радиуса сходимости через коэффициенты.
381. Знакопеременные ряды.
382. Примеры.
383. Преобразование Абеля.
384. Признаки Абеля и Дирихле.
385. Примеры.
§ 4. Свойства сходящихся рядов
387. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов.
388. Случай неабсолютно сходящихся рядов.
389. Умножение рядов.
390. Примеры.
391. Общая теорема из теории пределов.
392. Дальнейшие теоремы об умножении рядов.
§ 5. Повторные и двойные ряды
394. Двойные ряды.
395. Примеры.
396. Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости.
397. Примеры.
398. Кратные ряды.
§ 6. Бесконечные произведения
400. Примеры.
401. Основные теоремы. Связь с рядами.
402. Примеры.
§ 7. Разложения элементарных функций
404. Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических функций и др.
405. Логарифмический ряд.
406. Формула Стирлинга.
407. Биномиальный ряд.
408. Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения.
§ 8. Приближенные вычисления с помощью рядов. Преобразование рядов
410. Вычисление числа пи.
411. Вычисление логарифмов.
412. Вычисление корней.
413. Преобразование рядов по Эйлеру.
414. Примеры.
415. Преобразование Куммера.
416. Преобразование Маркова.
§ 9. Суммирование расходящихся рядов
418. Метод степенных рядов.
419. Теорема Таубера.
420. Метод средних арифметических.
421. Взаимоотношение между методами Пуассона—Абеля и Чезаро.
422. Теорема Харди - Ландау.
423. Применение обобщенного суммирования к умножению рядов.
424. Другие методы обобщенного суммирования рядов.
425. Примеры.
426. Общий класс линейных регулярных методов суммирования.
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 1. Равномерная сходимость
428. Равномерная и неравномерная сходимости.
429. Условие равномерной сходимости.
430. Признаки равномерной сходимости рядов.
§ 2. Функциональные свойства суммы ряда
432. Замечание о квази-равномерной сходимости.
433. Почленный переход к пределу.
434. Почленное интегрирование рядов.
435. Почленное дифференцирование рядов.
436. Точка зрения последовательности.
437. Непрерывность суммы степенного ряда.
438. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
§ 3. Приложения
440. Примеры на почленное интегрирование рядов.
441. Примеры на почленное дифференцирование рядов.
442. Метод последовательных приближений в теории неявных функций.
443. Аналитическое определение тригонометрических функций.
444. Пример непрерывной функции без производной.
§ 4. Дополнительные сведения о степенных рядах
446. Подстановка ряда в ряд.
447. Примеры.
448. Деление степенных рядов.
449. Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются.
450. Решение уравнений рядами.
451. Обращение степенного ряда.
452. Ряд Лагранжа.
§ 5. Элементарные функции комплексной переменной
454. Комплексная варианта и ее предел.
455. Функции комплексной переменной.
456. Степенные ряды.
457. Показательная функция.
458. Логарифмическая функция.
459. Тригонометрические функции и им обратные.
460. Степенная функция.
461. Примеры.
§ 6. Отвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера—Маклорена
463. Определения.
464. Основные свойства асимптотических разложений.
465. Вывод формулы Эйлера—Маклорена.
466. Исследование дополнительного члена.
467. Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера—Маклорена.
468. Другой вид формулы Эйлера—Маклорена.
469. Формула и ряд Стирлинга.
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
471. Применение основной формулы интегрального исчисления.
472. Примеры.
473. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы.
474. Сходимость интеграла в случае положительной функции.
475. Сходимость интеграла в общем случае.
476. Признаки Абеля и Дирихле.
477. Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду.
478. Примеры.
§ 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
480. Замечание относительно особых точек.
481. Применение основной формулы интегрального исчисления. Примеры.
482. Условия и признаки существования интеграла.
483. Примеры.
484. Главные значения несобственных интегралов.
485. Замечание об обобщениях значениях расходящихся интегралов.
§ 3. Свойства и преобразование несобственных интегралов
487. Теоремы о среднем значении.
488. Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов.
489. Примеры.
490. Замена переменных в несобственных интегралах.
491. Примеры.
§ 4. Особые приемы вычисления несобственных интегралов
493. Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных сумм.
494. Случай интегралов с бесконечным пределом.
495. Интегралы Фруллани.
496. Интегралы от рациональных функций между бесконечными пределами.
497. Смешанные примеры и упражнения.
§ 5. Приближенное вычисление несобственных интегралов
499. Примеры.
500. Замечание по поводу приближенного вычисления собственных интегралов.
501. Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечным пределом.
502. Использование асимптотических разложений.
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
504. Равномерное стремление к предельной функции.
505. Перестановка двух предельных переходов.
506. Предельный переход под знаком интеграла.
507. Дифференцирование под знаком интеграла.
508. Интегрирование под знаком интеграла.
509. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра.
510. Введение множителя, зависящего лишь от х.
511. Примеры.
512. Гауссово доказательство основной теоремы алгебры.
§ 2. Равномерная сходимость интегралов
514. Условие равномерной сходимости. Связь с рядами.
515. Достаточные призиаки равномерной сходимости.
516. Другой случай равномерной сходимости.
517. Примеры.
§ 3. Использование равномерной сходимости интегралов
519. Примеры.
520. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру.
521. Интегрирование интеграла по параметру.
522. Применение к вычислению некоторых интегралов.
523. Примеры на дифференцирование под знаком интеграла.
524. Примеры на интегрирование под знаком интеграла.
§ 4. Дополнения
525. Лемма Арцела.
526. Предельный переход под знаком интеграла.
527. Дифференцирование под знаком интеграла.
528. Интегрирование под знаком интеграла.
§ 5. Эйлеровы интегралы
530. Эйлеров интеграл второго рода.
531. Простейшие свойства функции Г.
532. Однозначное определение функции Г ее свойствами.
533. Другая функциональная характеристика функции Г.
534. Примеры.
535. Логарифмическая производная функции Г.
536. Теорема умножения для функции Г.
537. Некоторые разложения в ряды и произведения.
538. Примеры и дополнения.
539. Вычисление некоторых определенных интегралов.
540. Формула Стирлинга.
541. Вычисление эйлеровой постоянной.
542. Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г.