Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Интегрирование рациональных выражений

272. Постановка задачи интегрирования в конечном виде.

Мы познакомились с элементарными приемами вычисления неопределенных интегралов. Эти приемы не предопределяют точно пути, по которому надлежит идти, чтобы вычислить данный интеграл, предоставляя многое искусству вычислителя. В этом и следующих параграфах мы остановимся подробнее на некоторых важных классах функций и по отношению к их интегралам установим вполне определенный порядок вычислений.

Теперь выясним, что именно нас будет интересовать при интегрировании функций упомянутых классов и по какому принципу будет произведено самое их выделение.

В 51 было охарактеризовано то многообразие функций, к которым в первую очередь применяется анализ; это - так называемые элементарные функции и функции, которые выражаются через элементарные с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций (без предельного перехода).

В главе III мы видели, что все такие функции дифференцируемы и их производные принадлежат к тому же многообразию. Иначе обстоит дело с их интегралами: очень часто оказывается, что интеграл от функции, принадлежащей упомянутому классу, сам этому классу не принадлежит, т. е. не выражается через элементарные функции с помощью конечного числа названных вьппе операций. К числу таких заведомо невыражающихся в конечном виде интегралов относятся, например,

другие примеры подобного рода будут приведены ниже [280, 289. 290 и сл.].

Важно подчеркнуть, что все эти интегралы реально существуют, но они лишь представляют собой совершенно новые

функции и не приводятся к тем функциям, которые мы назвали элементарными.

Известны сравнительно немногие общие классы функций, для которых интегрирование может быть выполнено в конечном виде; этими классами мы ближайшим образом и займемся. На первом месте среди них надлежит поставить важный класс рациональных функций.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление