Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

363. Примеры.

1) Простейшим примером бесконечного ряда является уже знакомая читателю геометрическая прогрессия:

Ее частичная сумма будет (если q и 1)

Если знаменатель прогрессии, по абсолютной величине меньше единицы, то [как мы уже знаем, 25, 7)] имеет конечный предел

т. е. наш ряд сходится, и s будет его суммой.

При та же прогрессия дает пример расходящегося ряда. Если 1, то его суммой будет бесконечность (определенного знака), в прочих случаях суммы вовсе нет. Отметим, в частности, любопытный ряд, который получается при

и

Его частичные суммы попеременно равны то 1, то 0.

2) Вещественное число а, разложенное в бесконечную десятичную дробь

[9], очевидно, представляет собой сумму ряда:

3) По образцу (4) построен ряд

явно расходящийся, ибо

4) На той же идее построены следующие ряды (где а обозначает произвольное число, отличное от

и, вообще, при любом целом

5) Аналогично трактуется ряд

где х есть любое фиксированное число, отличное от ±1. Так как частичная сумма равна

то при ряд сходится к сумме , а при — к сумме .

6) Легко установить расходимость ряда

В самом деле, так как члены его убывают, то его частичная сумма

и растет до бесконечности вместе с

7) Наконец, менее тривиальный пример нам доставит уже известное [37] разложение числа

Вспоминая приближенное вычисление числа в 37, читатель на этом примере сможет оценить выгоду последовательного введения все менее и менее значительных поправок, постепенно улучшающих получаемые в лице частичных сумм приближенные значения е.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление