Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

364. Основные теоремы.

Если в ряде отбросить первые членов, то получится ряд:

называемый остатком ряда (2) после о члена.

1°. Если сходится ряд (2), то сходится и любой из его остатков (5); обратно, из сходимости остатка (5) вытекает сходимость исходного ряда (2).

Фиксируем и обозначим частичную сумму ряда (5) через

Тогда, очевидно,

Если ряд (2) сходится, так что то - при безграничном возрастании к - существует конечный предел

и для суммы что и означает сходимость ряда (5).

Обратно, если дано, что сходится ряд (5), так что то перепишем равенство (6), полагая в нем

отсюда можно усмотреть, что - при безграничном возрастании п - частичная сумма имеет предел

т. е. сходится ряд (2).

Иными словами, отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или присоединение в начале его нескольких новых членов не отражается на поведении ряда (в смысле его сходимости или расходимости).

Сумму ряда (5), если он сходится, обозначим вместо А символом указывая значком, после какого члена берется остаток. Тогда формулы (8) и (7) перепишутся следующим образом:

Если увеличивать до бесконечности, то . Итак:

2°. Если ряд (2) сходится, то сумма его остатка после члена с возрастанием стремится к нулю.

Упомянем следующие простые свойства сходящихся рядов:

3°. Если члены сходящегося ряда (2) умножить на один и тот же множитель с, то его сходимость не нарушится (а сумма лишь умножится на с).

В самом деле, частичная сумма ряда

очевидно, равна

и имеет пределом

4°. Два сходящихся ряда

и

можно почленно складывать (или вычитать), так что ряд

также сходится, и его сумма равна, соответственно,

Если означают частичные суммы упомянутых рядов, то, очевидно,

Переходя к пределу, найдем, что что и доказывает наше утверждение.

В заключение сделаем еще одно замечание.

5°. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю.

Это может быть доказано совершенно элементарно: раз (а с ним и имеет конечный предел А, то

В предыдущем утверждении содержится необходимое условие для сходимости ряда, которым мы будем часто пользоваться. При нарушении его ряд заведомо расходится. Однако важно подчеркнуть, что это условие не является само по себе достаточным для сходимости ряда. Иными словами, даже при выполнении его ряд может расходиться. Примерами этого служат ряды

рассмотренные выше [363, 3) и многочисленные другие примеры этого же рода читатель найдет в последующем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление