Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Сходимость положительных рядов

365. Условие сходимости положительного ряда.

Займемся теперь вопросом об установлении сходимости или расходимости ряда. Этот вопрос всего проще решается для рядов, члены которых неотрицательны; для краткости такие ряды мы будем называть просто положительными.

Пусть ряд

будет положительным, т. е. Тогда, очевидно,

т. е. варианта оказывается возрастающей. Вспоминая теорему о пределе монотонной варианты [34], мы непосредственно приходим к следующему основному в теории положительных рядов предложению:

Положительный ряд (А) всегда имеет сумму; эта сумма будет конечной (и, следовательно, ряд — сходящимся), если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечной (а ряд - расходящимся) в противном случае.

Все признаки сходимости (и расходимости) положительных рядов в конечном счете, основаны на этой простой теореме, Но непо

средственное ее применение лишь в редких случаях позволяет судить о характере ряда. Приведем примеры этого рода.

1) Рассмотрим ряд

известный под именем гармонического ряда.

Имеем очевидное неравенство:

Если, отбросив первые два члена, остальные члены гармонического ряда последовательно разбить на группы, по членов в каждой

то каждая из этих сумм в отдельности будет больше в этом легко убедиться, полагая в (1) поочередно Обозначим частичную сумму гармонического ряда через тогда, очевидно,

Мы видим, что частичные суммы не могут быть ограничены сверху: ряд имеет бесконечную сумму.

Упомянем уже здесь, что с возрастанием возрастает очень медленно. Эйлер, например, вычислил, что

Впоследствии мы будем иметь случай точнее охарактеризовать возрастание сумм [367, 10)].

2) Рассмотрим теперь более общий ряд:

где - любое вещественное число; он содержит в себе, как частный случай (при предыдущий ряд. По сходству с рядом 1), и этот ряд тоже называют моническим.

Так как при члены рассматриваемого ряда больше соответствующих членов ряда 1), то, в этом предположении, частичные суммы и подавно не огра ничены сверху, так что ряд расходится.

Займемся случаем, когда положим для удобства где . Аналогично (1), имеем на этот раз:

Выделяя, как и выше, последовательные группы членов:

с помощью (2) легко показать, что эти суммы соответственно меньше членов прогрессии

В таком случае ясно, что какую бы частичную сумму рассматриваемого ряда ни взять, она будет меньше постоянного числа

следовательно, ряд сходится.

[Его сумма, зависящая от представляет знаменитую функцию Римана, играющую важную роль в теории чисел.]

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление