Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

366. Теоремы сравнения рядов.

Сходимость или расходимость положительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом, заведомо сходящимся или расходящимся. В основе такого сравнения лежит следующая простая теорема.

Теорема 1. Пусть даны два положительных ряда

и

Если, хотя бы начиная с некоторого места (скажем, для выполняется неравенство: то из сходимости ряда (В) вытекает сходимость ряда (А) или - что то же - из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).

Доказательство. На основании того, что отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не отражается на его поведении [364, 1°], мы можем считать, не нарушая общности, что

при всех значениях Обозначив частные суммы рядов (А) и (В), соответственно, через будем иметь:

Пусть ряд (В) сходится; тогда, по основной теореме [365], суммы ограничены:

В силу предыдущего неравенства, и подавно

а это, по той же теореме, влечет за собой сходимость ряда (А).

Иногда на практике более удобна следующая теорема, вытекающая из первой:

Теорема 2, Если существует предел

то из сходимости ряда (В), при вытекает сходимость ряда (А), а из расходимости первого ряда, при , вытекает расходимость второго. [Таким образом, при оба ряда сходятся или оба расходятся одновременно.]

Доказательство. Пусть ряд (В) сходится и Взяв произвольное число по самому определению предела, для достаточно больших будем иметь

В силу 364, 3°, одновременно с рядом (В) будет сходиться и ряд полученный умножением его членов на постоянное число . Отсюда, по предыдущей теореме, вытекает сходимость ряда (А).

Если же ряд (В) расходится и то в этом случае обратное отношение — имеет конечный предел; ряд (А) должен быть расходящимся, ибо если бы он сходился, то, по доказанному, сходился бы и ряд (В).

Наконец, приведем еще одну теорему сравнения, также представляющую собой следствие первой.

Теорема 3. Если, хотя бы начиная с некоторого места (скажем, для выполняется неравенство

то из сходимости ряда (В) вытекает сходимость ряда (А) или - что то же - из расходимости ряда (А) вытекает расходимость ряда (В).

Доказательство. Как и выше, при доказательстве теоремы 1, не умаляя общности, можно считать, что неравенство (3) справедливо для всех значений . В таком случае будем иметь:

Перемножив почленно эти неравенства, получим:

Пусть ряд (В) сходится; вместе с ним сходится ряд 2 — полученный умножением его членов на постоянный множитель . А тогда, по теореме 1, сходится и ряд (А), ч. и тр. д.

Перейдем теперь к примерам установления сходимости или расходимости рядов непосредственным применением теорем сравнения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление