Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

367. Примеры.

Если то нарушается необходимое условие сходимости, 364, 5° и ряд расходится. При члены ряда оказываются меньшими членов сходящегося ряда ряд сходится (теорема 1).

— сходится, так как

(теорема 1).

Так как

и ряд сходится, то это же справедливо и для данного ряда (теорема 1).

4) Рассмотрим вновь гармонический ряд - и сопоставим его, по теореме 2, с заведомо расходящимся рядом

Так как [77, 5) (а)]

то отсюда уже вытекает расходимость гармонического ряда.

Или иначе: применяя к функции в промежутке формулу конечных приращений, найдем, что

В таком случае гармонический ряд, члены которого соответственно больше, и подавно расходится (теорема 1).

5) Аналогично можно установить вновь сходимость ряда сопоставляя его с заведомо сходящимся рядом

Применяя к функции в промежутке формулу конечных приращений, найдем:

Таким образом, при 2

откуда, по теореме 1, и вытекает сходимость испытуемого ряда.

6) Чтобы подобным же приемом получить новый результат, рассмотрим ряд (члены которого еще меньше, чем соответствующие члены гармонического ряда).

Сопоставим его с заведомо расходящимся рядом

(кликните для просмотра скана)

9) Вот более сложные примеры этого же типа:

Обозначим через отношение общего члена этого ряда к

Пользуясь разложением о котором была речь в 125, 5), можно написать:

где при Поэтому

следовательно, и предложенный ряд расходится.

Пользуясь и здесь упомянутым разложением будем иметь:

где при , так что

Таким образом, отношение общего члена испытуемого ряда к имеет пределом наш ряд сходится.

10) Наконец, рассмотрим ряд

Мы знаем [133, 4)], что

Пользуясь им, можем написать:

я в то же время

Поэтому

Таким образом, члены данного ряда положительны и меньше соответственных членов сходящегося ряда следовательно, и данный ряд сходится.

Если обозначить его сумму через С, то частичная сумма

( обозначает, как всегда, частичную сумму гармонического ряда). Можно заменить здесь на и, так как их разность, равная стремится к нулю. Окончательно: обозначая через некоторую бесконечно малую, имеем для замечательную формулу

Она показывает, что при бесконечном возрастании и частичная сумма гармонического ряда растет, как .

Фигурирующая в формуле (4) постоянная С называется эйлеровой постоянной. Ее численное значение (которое удается вычислить из других соображений) таково:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление