Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

368. Признаки Коши и Даламбера.

Сравнение данного ряда

с различными стандартными рядами, заведомо сходящимися или расходящимися, может быть проведено и в другой, так сказать, более организованной форме.

Возьмем для сравнения, в качестве ряда (В), с одной стороны, сходящуюся геометрическую прогрессию

а с другой стороны — расходящуюся прогрессию

Сравнивая испытуемый ряд (А) с этими рядами по схеме теоремы 1, придем к следующему признаку: Признак Коши. Составим для ряда (А) варианту

Если, при достаточно больших выполняется неравенство

где q — постоянное число, меньшее единицы, то ряд сходится; если же, начиная с некоторого места,

то ряд расходится.

Действительно, неравенства или 1 равносильны, соответственно, таким: или остается применить теорему 1.

Чаще, однако, этот признак применяют в другой, предельной, форме:

Допустим, что варианта имеет предел (конечный или нет):

Тогда при ряд сходится, а при ряд расходится.

Если 1, то возьмем положительное число меньшее чем так что и По определению предела, для будет:

Число играет роль числа q в предыдущей формулировке: ряд сходится.

Если же (и конечно), то, взяв так что для достаточно больших значений на этот раз будем иметь ряд расходится. Аналогичный результат и при

В случае, когда этот признак не дает возможности судить о поведении ряда.

Варианту будем называть вариантой Коши.

Если сравнение ряда (А) с указанными стандартными рядами производить по теореме 3, то придем к такому признаку:

Признак Даламвера (J. dAlembert). Рассмотрим для ряда (А) варианту

Если, при достаточно больших выполняется неравенство

где q - постоянное число, меньшее единицы, то ряд сходится; если же, начиная с некоторого места,

то ряд расходится.

И в этом случае удобнее пользоваться предельной формой признака:

Допустим, что варианта имеет предел (конечный или нет):

Тогда при ряд сходится, а при ряд расходится.

Доказательство - такое же, как и в случае признака Коши.

И этот признак ничего не дает, если оказывается, что

Варианту назовем вариантой Даламбера.

В примере 77, 4) мы видели, что из существования предела для варианты вытекает уже существование предела и для варианты причем оба предела равны. Таким образом, во всех случаях, когда признак Даламбера дает ответ на вопрос о поведении ряда, ответ может быть получен и с помощью признака Коши. На примерах мы увидим ниже, что обратное утверждение неверно, и признак Коши сильнее признака Даламбера. Однако на практике пользование признаком Даламбера обыкновенно проще.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление