Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

369. Признак Раабе.

В тех случаях, когда указанные простые признаки не дают ответа, приходится прибегать к более сложным признакам, основанным на сравнении испытуемого ряда уже с другими стандартными рядами, так сказать, «медленнее» сходящимися или «медленнее» расходящимися, чем прогрессия.

Мы рассмотрим здесь еще признак Раабе (J. L. Raabe); он осуществляет сравнение данного ряда (А) с гармоническими рядами - сходящимися:

и расходящимися:

- именно с помощью теоремы 3. При этом приходится рассматривать варианту Раабе:

Признак Раабе. Если, при достаточно больших выполняется неравенство

где - постоянное число, большее единицы, то ряд сходится; если же, начиная с некоторого места,

то ряд расходится.

Итак, пусть, при достаточно больших имеем:

Возьмем теперь любое число s между Так как по известному предельному соотношению [77, 5)]:

то для достаточно больших будет

а следовательно, и

Это неравенство можно переписать следующим образом:

Справа мы имеем отношение двух последовательных членов ряда применив теорему 3, убеждаемся в сходимости ряда (А).

Если же, начиная с некоторого места,

то отсюда сразу находим, что

применив к рядам (А) и (Н) теорему 3, заключаем о расходимости ряда (А).

Признак Раабе тоже применяется преимущественно в предельной форме:

Допустим, что варианта имеет предел (конечный или нет):

Тогда при ряд сходится, а при ряд расходится.

Сравнивая признаки Даламбера и Раабе, видим, что последний значительно сильнее первого. Если предел существует и отличен от единицы, то для существует предел равный при при Таким образом, если признак Даламбера дает ответ на вопрос о поведении данного ряда, то признак Раабе и подавно его дает: больше того, все такие случаи охватываются всего двумя из возможных значений именно Все остальные значения , (исключая также дающие ответ на вопрос о сходимости, соответствуют, таким образом, случаям, когда признак Даламбера заведомо ответа не дает, потому что

Но все же и здесь при мы не имеем ответа на вопрос о поведении ряда; в подобных случаях (которые очень редки) приходится прибегать к еще более тонким и сложным признакам [см., например, ниже п° 371].

Обратимся к примерам.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление