Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

372. Признак Гаусса.

Из признаков Даламбера, Раабе и Бертрана легко может быть получен следующий признак Гаусса (С. F. Gauss).

Признак Гаусса. Допустим, что для данного ряда (А) отношение может быть представлено в виде.

где - постоянные, а есть ограниченная величина: тогда ряд сходится, если или если и расходится - если или .

Случаи приводятся к признаку Даламбера, ибо

Пусть теперь тогда

и случаи исчерпываются признаком Раабе. Наконец, если то имеем:

Так как как известно, стремитея к нулю при ограничена, то ей и по признаку Бертрана ряд расходится.

Примеры. 1) Рассмотрим так называемый гипергеометрический ряд (Гаусс)

предполагая пока Здесь

так что по признаку Даламбера сразу устанавливается сходимость при и расходимость при Если же , то возьмем отношение

и, пользуясь разложениями:

представим его в виде:

где ограничена. Применяя признак Гаусса, видим, что ряд сходится при и расходится при Ниже мы вернемся к гипергеометрическому ряду при более общих предположениях относительно и

2) Другим примером на применение признака Гаусса может служить ряд

который сходится при и расходится при Здесь - по формуле Тейлора

откуда

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление