Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

273. Простые дроби и их интегрирование.

Так как из неправильной рациональной дроби можно исключить целую часть, интегрирование которой не представляет трудностей, то достаточно заняться интегрированием правильных дробей (у которых степень числителя ниже степени знаменателя).

Из них мы остановимся здесь на так называемых простых дробях; это будут дроби следующих четырех типов:

где — вещественные числа; кроме того, по отношению к дробям вида III и IV предполагается, что трехчлен не имеет вещественных корней, так что

или

Дроби вида I и II мы уже умеем интегрировать [267, 7)]

Что же касается дробей вида III и IV, то их интегрирование облегчается следующей подстановкой. Выделим из выражения полный квадрат двучлена

Последнее выражение в скобках, по предположению, есть число положительное, его можно положить равным если взять

Теперь прибегнем к подстановке

В случае III будем иметь

или, возвращаясь к х и подставляя вместо а его значение:

Для случая IV та же подстановка даст

Первый из интегралов справа легко вычисляется подстановкой

Второй же из интегралов справа, при любом может быть вычислен по рекуррентной формуле (6) п° 271. Затем останется лишь положить в результате чтобы вернуться к переменной х. Этим исчерпывается вопрос об интегрировании простых дробей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление