Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

373. Интегральный признак Маклорена—Коши.

Этот признак по форме отличается от всех предыдущих. Он построен на идее сопоставления ряда с интегралом и представляет собой обобщение того приема, которым мы уже пользовались для выяснения сходимости или расходимости ряда в примерах 4), 5), 6) п° 367.

Пусть предложенный ряд имеет форму

где есть значение при некоторой функции определенной для функцию эту предположим непрерывной, положительной и монотонно убывающей.

Рассмотрим какую-либо первообразную функцию для так как ее производная то возрастает вместе с х и, при наверное, имеет предел, конечный или нет. В первом случае ряд

сходится, а во втором - расходится. С этим рядом мы и сравним испытуемый ряд.

По формуле конечных приращений, общий член ряда (8) представится в виде:

так что вследствие монотонности функции

В случае сходимости ряда (8), по теореме 1, сходится ряд которого меньше соответственных членов ряда (8); значит, сходится и данный ряд (7). В случае расходимости ряда (8), расходится и данный ряд (7), ибо члены его больше соответственных членов ряда (8).

Таким образом, мы приходим к следующему интересному признаку (впервые найденному в геометрической форме Маклореном, но позабытому и лишь впоследствии вновь открытому Коши):

Интегральный признак. При сделанных предположениях ряд (7) сходится или расходится в зависимости от того, имеет ли функция

при конечный предел или нет.

Приведем примеры применения этого признака (помимо рассмотренных в 367).

Здесь при ряд сходится.

Имеем ряд расходится.

В этом случае

ряд сходится, и т. д.

Первообразную функцию можно взять и в форме определенного интеграла

Предел его при называют «интегралом от 1 до и обозначают так:

Итак, предложенный ряд (7) сходится или расходится, смотря по тому, имеет ли этот интеграл конечное значение или нет.

В такой форме интегральный признак допускает простое геометрическое истолкование, близкое к идее Маклорена. Если изобразить функцию кривой (рис. 54), то интеграл будет выражать площадь фигуры, ограниченной этой кривой, осью х и двумя ординатами; интеграл же в некотором смысле, можно рассматривать как выражение для площади всей бесконечно простирающейся направо фигуры под кривой.

Рис. 54.

С другой же стороны, члены ряда (7) выражают величины ординат в точках или, что то же, площади прямоугольников с основаниями 1 и с высотами, равными упомянутым ординатам.

Таким образом, сумма ряда (7) есть не что иное, как сумма площадей выходящих прямоугольников, и лишь первым членом отличается от суммы площадей входящих прямоугольников. Это делает совершенно наглядным установленный выше результат: если площадь криволинейной фигуры конечна, то и подавно конечна площадь заключенной в ней ступенчатой фигуры, и предложенный ряд сходится; если же площадь криволинейной фигуры бесконечна, то бесконечна и площадь содержащей ее ступенчатой фигуры, так что в этом случае ряд расходится.

Сделаем теперь некоторые замечания относительно дальнейшего использования неравенств (9).

а) В случае существования конечного предела

можно указать удобную оценку остатка предложенного ряда. Именно, просуммировав неравенства

при получим

Перейдем к пределу, увеличивая здесь до бесконечности:

или

это и дает искомую оценку как сверху, так и снизу.

Например, для ряда будет

и

б) Если же возрастает до бесконечности вместе с х, то эта функция позволяет судить о быстроте роста частичной суммы предложенного ряда. Рассмотрим неравенства

и, просуммировав их от до получим возрастающую, но ограниченную варианту

которая стремится к конечному пределу. То же справедливо и относительно варианты

Если через С обозначить ее предел, а через - бесконечно малую, которой она разнится от своего предела, то придем к формуле:

Например, при отсюда вновь получается формула (4) п° 367.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление