Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

374. Признак Ермакова.

Примерно ту же область применения, что и интегральный признак, имеет и своеобразный признак, предложенный В. П. Ермаковым. Формулировка его не содержит понятий интегрального исчисления.

Признак Ермакова. Предположим по-прежнему функцию непрерывной, положительной и монотонно убывающей для 1. Тогда, если для достаточно больших х (скажем, для ) выполняется неравенство

то ряд (7) сходится, если же (для )

то ряд (7) расходится.

Доказательство. Пусть выполняется первое неравенство. При любом будем иметь (подстановка )

отсюда

так как

в вычитаемое в последних скобках положительно. В таком случае

е.

прибавляя к обеим частям интеграл получим

и тем более - учитывая (12) -

Так как с возрастанием и интеграл возрастает, то для него существует конечный предел

и - по интегральному признаку - ряд (7) сходится.

Пусть теперь имеет место второе неравенство. Тогда

и - если к обеим частям прибавить интеграл

(так как, ввиду (12), Определим теперь последовательность

полагая по доказанному

так что

Отсюда ясно, что

и - по интегральному признаку - ряд (7) расходится.

Примеры предыдущего п° легко исчерпываются и с помощью доказанного признака:

В этом случае и выражение

так что при достаточно больших х оно становится меньшим любой правильной дроби ряд сходится.

Здесь , а выражение

и при достаточно больших х превзойдет единицу: ряд расходится.

Имеем на этот раз

Заметим в заключение, что функция фигурирующая в признаке Ермакова, может быть заменена любой другой функцией монотонно возрастающей, положительной, имеющей непрерывную производную и удовлетворяющей неравенству

которое заменяет (12). Доказательство может быть скопировано с приведенного выше. Таким образом, в общей форме признак Ермакова является источником для получения ряда конкретных признаков, отвечающих различному выбору функции

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление