Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Сходимость произвольных рядов

376. Общее условие сходимости ряда.

Обратимся к вопросу о сходимости рядов, члены которых могут иметь произвольные знаки. Так как, по определению, сходимость ряда

приводится к сходимости последовательности

составленной из частичных сумм ряда, то естественно применить к этой последовательности принцип сходимости [39]. Из двух

номеров которые в нем упоминаются, можно, не умаляя общности, считать и положить где любое натуральное число. Если вспомнить, что

то принцип сходимости применительно к ряду можно перефразировать так:

Для того чтобы ряд (А) сходился, необходимо и достаточно, чтобы каждому числу отвечал такой номер что при неравенство

выполняется, каково бы ни было

Иными словами: сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно далеким, должна быть произвольно мала.

Если, предполагая ряд сходящимся, в неравенстве (2) взять, в частности, то получим:

так что 0 или (что то же) и мы вновь приходим к известному необходимому условию сходимости ряда [364, 5°]. Оно требует гораздо меньшего, чем принцип сходимости: необходимо, чтобы не только далекие члены, в отдельности взятые, были малы, но и сумма далеких членов, взятых в любом количестве, должна быть мала! В этом смысле поучительно вернуться к гармоническому ряду [365, 1)] и к неравенству (1), установленному для его членов. Хотя общий член здесь и стремится к 0, но неравенство (2) (настоящего п°) при не выполняется ни при одном и гармонический ряд расходится!

Нужно сказать, однако, что проверка выполнения приведенного общего условия сходимости ряда в конкретных случаях обычно бывает затруднительна. Поэтому представляет интерес изучение класса случаев, когда вопрос решается с помощью более простых средств.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление