Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

379. Степенной ряд, его промежуток сходимости.

Рассмотрим степенной ряд вида

представляющий собой как бы «бесконечный многочлен», расположенный по возрастающим степеням переменной здесь обозначают постоянные коэффициенты). Выше мы не раз имели дело с такими степенными рядами [см., например, в предыдущем

Предложим теперь себе выяснить, какой вид имеет «область сходимости» степенного ряда, т. е. множество тех значений переменной, для которых ряд (4) сходится. Это послужит снова важным примером применения изложенного выше.

Лемма. Если ряд (4) сходится для значения отличного от О, то он абсолютно сходится для любого значения х, удовлетворяющего неравенству.

Из сходимости ряда:

вытекает, что его общий член стремится к [364, 5°], а следовательно, - ограничен [26, 4°]:

Возьмем теперь любое х, для которого и составим ряд

Так как [см. (5)]:

и члены ряда (6) оказываются меньшими соответствующих членов сходящейся геометрической прогрессии (со знаменателем

то, по теореме 1 п° 366, ряд (6) сходится. В таком случае, как мы знаем, ряд (4) сходится абсолютно, ч. и тр. д.

При сходится, очевидно, всякий ряд (4). Но есть степенные ряды, которые - помимо этого - не сходятся ни при одном значении х. Примером такого «всюду расходящегося» ряда может служить ряд как в этом легко убедиться с помощью признака Даламбера. Подобные ряды для нас не представляют интереса.

Предположим же, что для ряда (4) вообще существуют такие отличные от 0 значения при которых он сходится, и рассмотрим множество . Это множество может оказаться либо ограниченным сверху, либо нет.

В последнем случае, какое бы значение х ни взять, необходимо найдется такое х, что а тогда, по лемме, при взятом значении х ряд (4) абсолютно сходится. Ряд оказывается «всюду сходящимся».

Пусть теперь множество сверху ограничено, и будет его точная верхняя граница. Если то сразу ясно, что при этом значении х ряд (4) расходится. Возьмем теперь любое х, для которого По определению точной границы, необходимо найдется такое х, что а это, по лемме, снова влечет за собой абсолютную сходимость ряда (4).

Итак, в открытом промежутке ряд (4) абсолютно сходится; для ряд заведомо расходится, и лишь о концах промежутка общего утверждения сделать нельзя - там, смотря по случаю, может иметь место и сходимость, и расходимость.

Поставленная нами задача решена.

Для каждого степенного ряда вида (4), если только он не является всюду расходящимся, «область сходимости» X представляет собой сплошной промежуток от до со включением концов или нет; промежуток этот может быть и бесконечным. Внутри промежутка, к тому же, ряд сходится абсолютно.

Упомянутый промежуток называют промежутком сходимости, а число - радиусом сходимости ряда. Если вернуться к примерам 1) (а) - (д) предыдущего п°, то, как легко видеть, в случае

Для всюду расходящегося ряда принимают его «область сходимости» сводится к одной точке

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление