Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

380. Выражение радиуса сходимости через коэффициенты.

Теперь мы докажем более точную теорему, в которой не только вновь устанавливается существование радиуса сходимости, но и определяется его величина в зависимости от коэффициентов самого ряда (4).

Рассмотрим последовательность:

Обозначим наибольший предел этой последовательности [который всегда существует, 42], через р, так что

Теорема Коши — Адамара. Радиус сходимости ряда (4) есть величина, обратная наибольшему пределу варианты

(при этом, если

Теорема эта, открытая Коши, была забыта; Адамар (J. Hadamard) вновь нашел ее и указал важные приложения.

Доказательство. I случай: Докажем, что в этом случае т. е. что при любом х ряд (4) абсолютно сходится.

Так как последовательность состоит из положительных элементов, то из того, что следует, что она имеет определенный предел:

отсюда варианта Коши

при каково бы ни было х. Следовательно, по признаку Коши [368], ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1), сходится, а значит сам ряд (1) сходится абсолютно.

II случай: . Докажем, что в этом случае , т. е. при всяком ряд (1) расходится.

Так как

то, очевидно, можно найти такую частичную последовательность чтобы

Следовательно, при каждом найдется такой номер что для всех будет выполняться неравенство:

Видим, что в этом случае не выполняется необходимое условие сходимости ряда (общий член ряда не стремится к нулю). Следовательно, ряд (4) расходится. случай: - конечное положительное число: . Докажем, что в этом случае т. е. что при — ряд абсолютно сходится, а при ряд расходится. Возьмем любое х, для которого Выберем в настолько малым, чтобы выполнялось неравенство

По этому I, очевидно, всегда можно найти такое число чтобы для всех было:

на основании свойства наибольшего предела последовательности 42]. Отсюда следует, что варианта Коши

при всех По признаку Коши, ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (4), сходится, а значит сам ряд (4) сходится абсолютно.

Возьмем теперь любое х, для которого Выберем настолько малым, чтобы было

По 2-му свойству наибольшего предела [42], для сколь угодно больших будет выполняться неравенство:

так что

Следовательно, для сколь угодно больших общий член ряда

и ряд (4) расходится.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление