Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

381. Знакопеременные ряды.

Знакопеременными называются ряды, члены которых поочередно имеют то положительный, то отрицательный знаки. Знакопеременный ряд удобнее записывать так, чтобы знаки членов были выявлены, например

По отношению к знакопеременным рядам имеет место следующая простая теорема.

Теорема Лейбница. Если члены знакопеременного ряда (7) монотонно убывают по абсолютной величине:

и стремятся к нулю:

то ряд сходится.

Доказательство. Частичную сумму четного порядка можно написать в виде:

Так как каждая скобка, ввиду (8), есть положительное число, то отсюда ясно, что с возрастанием сумма также возрастает. С другой стороны, если переписать так:

то легко усмотреть, что остается сверху ограниченной:

В таком случае, по теореме о монотонной варианте [34], при безграничном возрастании частичная сумма имеет конечный предел

Переходя к частичной сумме нечетного порядка имеем, очевидно, . Так как общий член стремится к нулю, то и

Отсюда следует, что С и будет суммой данного ряда.

Замечание. Мы видели, что частичные суммы четного порядка приближаются к сумме С ряда возрастая. Написав в виде

легко установить, что суммы нечетного порядка стремятся к С убывая. Таким образом, всегда

В частности, можно утверждать, что

Это позволяет дать весьма простую и удобную оценку для остатка рассматриваемого ряда (который и сам представляет собою такой же знакопеременный ряд). Именно, для

очевидно, имеем:

наоборот, для

будет:

Таким образом, во всех случаях остаток ряда лейбницевского типа имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине.

Это замечание часто используется при приближенных вычислениях с помощью рядов [см. 409].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление