Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

382. Примеры.

1) Простейшими примерами рядов лейбницевского типа служат ряды

и

Сходимость обоих вытекает из доказанной теоремы.

В то же время ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся: для ряда (а) это будет гармонический ряд, для ряда же (б) получится ряд

расходимость которого ясна из того, что его частичная сумма

Таким образом, в лице рядов (а) и (б) мы имеем первые примеры неабсолютно сходящихся рядов. [Ниже мы увидим, что сумма первого из них есть а сумма второго равна ; 388, 2); 405, 404].

2) По теореме Лейбница сходятся ряды

Если заменить все члены их абсолютными величинами, то, как мы знаем, при получатся сходящиеся ряды, а при расходящиеся. Таким образом исходные ряды при оказываются абсолютно сходящимися, а при - неабсолютно сходящимися.

В частности, про степенной ряд который мы рассматривали в 370 и 378, теперь можно сказать, что на конце своего промежутка сходимости, при он все еще сходится, но неабсолютно. Рассмотрим ряд при любых Теорема Лейбница применима, если не к этому ряду, то к его достаточно далекому (по номеру) остатку. Действительно, при достаточно большом — приобретает знак и по абсолютной величине убывает с возрастанием Итак, ряд сходится [очевидно, неабсолютно, см. 367, 8) (в)].

4) Для того чтобы выяснить, что требование монотонного убывания чисел в теореме Лейбница отнюдь на является лишним, рассмотрим знакопеременный ряд

общий член которого стремится к нулю. Сумма его членов равна

и бесконечно возрастает вместе с ряд расходится! Нетрудно проверить, что монотонность убывания нарушается всякий раз при переходе от члена к члену

Для той же цели может служить и расходящийся ряд

в чем убедиться предоставляем читателю.

5) Последний ряд дает повод к такому замечанию. Если его сопоставить со сходящимся рядом то оказывается, что отношение их общих членов стремится к 1. Таким образом, теорема 2 п° 366 не имеет аналога в теории рядов с членами произвольных знаков.

6) Использование в выкладках расходящихся рядов и действий над их бесконечными суммами может привести к парадоксам. Вот, например, один из них:

Если то же преобразование применить к сходящемуся ряду

то получим, что

где

При (в этом случае последний ряд расходится!) снова приходим к парадоксу: 0 [ср. 381, замечание]. При мы имеем дело с сходящимися рядами, и получается правильный результат.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление