Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

383. Преобразование Абеля.

Часто приходится иметь дело с суммами парных произведений вида

Во многих случаях при этом оказывается полезным следующее элементарное преобразование, указанное Абелем (N. Н. Abel). Введем в рассмотрение суммы

Тогда, выражая множители через эти суммы,

сумму можно написать в виде

Если раскрыть скобки и иначе сгруппировать члены, то и получим окончательную формулу

[Если переписать ее в виде

то станет ясно, что эта формула для конечных сумм является аналогом формулы интегрирования по частям для интегралов: дифференциал здесь заменен разностью, а интеграл - суммой.]

Основываясь на формуле (10), выведем теперь следующую оценку для сумм указанного вида:

Лемма. Если множители не возрастают (или не убывают), а суммы все ограничены по абсолютной величине числом

то

Действительно, так как все разности в (10) одного знака, то

Нетрудно видеть, что если множители а не возрастают и положительны, то оценку можно упростить:

Этими оценками мы будем ниже не раз пользоваться по разным поводам. Сейчас мы их применим к выводу критериев сходимости, более общих, чем установленный выше критерий Лейбница.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление