Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

384. Признаки Абеля и Дирихле.

Рассмотрим ряд:

где - две последовательности вещественных чисел.

Следующие предположения относительно каждой из них в отдельности обеспечивают сходимость этого ряда.

Признак Абеля. Если ряд

сходится, а числа образуют монотонную и ограниченную последовательность

то ряд сходится.

Признак Дирихле. Если частичные суммы ряда (В) в совокупности ограничены

а числа образуют монотонную последовательность, стремящуюся к нулю:

то ряд сходится.

В обоих случаях для установления сходимости ряда мы прибегнем к принципу сходимости [376]. Рассмотрим поэтому сумму

она имеет вид (9), если положить Попытаемся оценить эту сумму с помощью леммы.

При предположениях Абеля, по заданному найдется такой номер что при неравенство

будет выполняться, каково бы ни было (принцип сходимости). Следовательно, за число упоминавшееся в лемме, можно принять е. Имеем тогда при

что и доказывает сходимость ряда

При предположении Дирихле, по заданному найдется такой номер что при будет

Кроме того, очевидно,

и можно в лемме положить Тогда, при

и сходимость ряда доказана.

Замечание. Признак Абеля вытекает из признака Дирихле. Ведь из предложений Абеля следует, что имеет конечный предел а. Если переписать ряд в виде суммы рядов

то второй из них сходится по предположению, а к первому применим уже признак Дирихле.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление