Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

385. Примеры.

1) Если монотонно убывая, стремится к нулю, то условия теоремы Дирихле, очевидно, выполнены. Следовательно, ряд

сходится. Таким образом, теорема Лейбница получается, как частное следствие теоремы Дирихле.

2) При тех же предположениях относительно рассмотрим ряды (х - любое):

Полагая тождествах (1) и (2) п° 307, которые там были установлены по другому поводу, мы найдем

в предположении лишь, что х не имеет вида Таким образом, если только обе суммы при любом по абсолютной величине ограничены числом

По признаку Дирихле, оба ряда сходятся при любом значении х, отличном от впрочем, первый ряд сходится и при ибо все члены его обращаются в 0.

В частности, например, сходятся ряды

3) Большой интерес представляют ряды вида

где - произвольная последовательность вещественных чисел; они носят название рядов Дирихле.

Для них может быть доказана лемма, имеющая сходство с леммой п° 379, относящейся к степенным рядам:

Если ряд (12) сходится при некотором значении то он сходится при всяком

Это сразу следует из теоремы Абеля, так как при ряд (12) получается из сходящегося ряда

умножением его членов на монотонно убывающие положительные множители

Существуют ряды (12) «всюду сходящиеся», вроде и «всюду расходящиеся», вроде Если исключить эти случаи, то с помощью приведенной леммы легко установить существование пограничной абсциссы сходимости I, такой, что ряд (12) сходится при и расходится при Например, для ряда очевидно, а для ряда имеем Если угодно, для «всюду сходящегося» ряда можно считать а для «всюду расходящегося» положить

Читатель легко усмотрит сходство со степенными рядами: в обоих случаях «область сходимости» представляет собой сплошной промежуток. Но есть и существенное отличие: область абсолютной сходимости здесь может не совпадать с областью сходимости вообще. Так, указанный только что ряд сходится для а абсолютно сходится лишь для

4) Сопоставим с рядом Дирихле (12) ряд

при тех же значениях коэффициентов . При этом, естественно, будем считать х отличным от

С этим ограничением имеет место такое предложение, принадлежащее Ландау (Е. Landau): ряды (12) и (13) сходятся при одних и тех же значениях х.

Ряд (13) получается из ряда Дирихле (12) путем умножения его членов, соответственно, на множители:

При достаточно больших значениях эти множители приобретают определенный знак. Кроме того, начиная с некоторого места, они изменяются уже монотонно.

Действительно, отношение множителя к -му будет таково:

Но

и, аналогично,

откуда

Из последней формулы явствует, что при упомянутое отношение в конце концов становится большим единицы, а при — меньшим единицы.

Для того чтобы установить ограниченность множителей (14), мы сошлемся на то, что [как это будет доказано ниже, в п° 402, 10)] для выражения (14) при существует конечный предел. Таким образом, по признаку Абеля, сходимость ряда (12) влечет за собой сходимость ряда (13).

Так как названный предел (как мы увидим) всегда отличен от 0, то подобные заключения применимы к множителям, обратным по отношению к (14). В таком случае, по той же теореме, и сходимость ряда (13) влечет за собой сходимость ряда (12). Этим доказано все.

5) Подобного же рода взаимность может быть установлена между поведением так называемого ряда Ламберта (J. Н. Lambert):

и степенного ряда [379]

с теми же коэффициентами (значения , конечно, исключаются). Точнее говоря:

Если

сходится, то ряд Ламберта (15) сходится при всех значениях в противном же случае он сходится как раз для тех значений х, для которых сходится степенной ряд (16). [Кноп (К. Кпорр).]

(а) Пусть сначала ряд (А) расходится, так что радиус сходимости ряда (А) будет Покажем, что для поведение рядов (15) и (16) одинаково.

Если сходится ряд (15), то сходится и ряд, полученный умножением его членов на а следовательно, и ряд (16), который является разностью обоих рядов

Пусть теперь сходится ряд (16); тогда, по признаку Абеля сходится ряд, полученный умножением его членов на монотонно убывающие множители :

Следовательно, сходится и ряд (15), который представляет сумму этих рядов [364, 4°]:

Для ряд (16) заведомо расходится; мы утверждаем, что при этом значении расходится и ряд (15). Действительно, в противном случае, из сходимости ряда

вытекала бы сходимость рядов [364, 4°]:

и

вопреки предположению.

(б) Если ряд (А) сходится (так что ), то для ряд (16) сходится, и сходимость ряда (15) устанавливается как и выше. Остается показать, что ряд (15) сходится и при

Действительно, тогда и ряд

как упомянуто, сходится, следовательно, сходится и ряд [364, 4°]:

6) В заключение, в качестве примера непосредственного применения преобразования Абеля (10), приведем тождество

где

При этом предполагается не только меньше радиуса сходимости первого ряда, но и меньше 1.

В самом деле, имеем:

Отсюда при и получается требуемое равенство, если только установить еще, что этой целью возьмем число под условиями

Тогда и

Последнее же выражение при сделанных предположениях, оневидь стремится к 0.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление