Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

387. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов.

Пусть дан сходящийся ряд (А), имеющий сумму А. Переставив в нем члены произвольным образом, мы получим новый ряд:

Каждый член этого ряда отождествляется с определенным членом исходного ряда.

Возникает вопрос, сходится ли ряд (А) и - в случае сходимости - будет ли его сумма равна сумме А исходного ряда. При рассмотрении этого вопроса нам придется провести резкое различие между абсолютно и неабсолютно сходящимися рядами.

Теорема. Если ряд (А) абсолютно сходится, то ряд (А), полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму А, что и исходный ряд. Иными словами: абсолютно сходящийся ряд обладает переместительным свойством.

Доказательство, (а) Проведем доказательство в два приема. Предположим сначала, что ряд (А) - положительный.

Рассмотрим произвольную частичную сумму ряда (А). Так как

то, взяв большим всех номеров очевидно, будем иметь а следовательно, и подавно

В таком случае (А) будет сходящимся [365] и его сумма А не превзойдет А:

Но и ряд (А) из (А) получается перестановкой членов, поэтому аналогично:

Сопоставляя полученные соотношения, придем к требуемому равенству:

Пусть теперь (А) будет произвольный абсолютно сходящийся ряд.

Так как сходящийся положительный ряд:

по доказанному, при любой перестановке членов останется сходящимся, то по теореме п° 377 сохранит при этом свою (абсолютную) сходимость и ряд (А).

Далее, мы видели в 377, что, в случае абсолютной сходимости ряда (А), его сумма выражается так:

где Р и суть суммы положительных рядов

и

составленных, соответственно, из положительных и абсолютных величин отрицательных членов ряда (А).

Перестановка членов в ряде (А) вызовет перестановку членов и в этих рядах, но не отразится (по доказанному) на их суммах Р и Следовательно, и сумма ряда (А) останется прежней, ч. и тр. д.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление