Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

388. Случай неабсолютно сходящихся рядов.

Обратимся теперь к рассмотрению неабсолютно сходящихся рядов и установим,

что они переместительным свойством не обладают: в каждом таком ряде надлежащей перестановкой членов можно изменить его сумму или даже вовсе нарушить сходимость.

Предположим, что ряд (А) сходится, но неабсолютно. Из сходимости следует, что Что же касается рядов (Р) и о которых мы упоминали в предыдущем п°, то, хотя, очевидно,

но в данном случае они оба расходятся.

Действительно, имеют место равенства

если кат означают число положительных и отрицательных членов в составе первых и членов ряда (А). Подчеркнем, что из трех номеров один может быть взят произвольно, а другие два по нему подбираются. Из сходимости одного из рядов (Р) или ввиду первого из равенств (3), вытекла бы с необходимостью и сходимость другого, а сходимость обоих, ввиду второго из этих равенств, имела бы следствием сходимость ряда (А - вопреки предположению!

Докажем теперь следующую замечательную теорему, принадлежащую Риману:

Теорема Римана. Если ряд (А) неабсолютно сходится, то какое бы ни взять наперед число В (конечное или равное можно так переставить члены в этом ряде, чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именно В.

Доказательство. Остановимся на случае конечного В. Заметим, прежде всего, что из расходимости рядов (Р) и в силу 364, 1°, вытекает, что и все их остатки также будут расходящимися, так что в каждом из этих рядов, начиная с любого места, можно набрать столько членов, чтобы сумма превзошла любое число.

Пользуясь этим замечанием, мы следующим образом произведем перестановку членов ряда (А).

Сначала возьмем столько положительных членов нашего ряда (в том порядке, в каком они в нем расположены), чтобы их сумма превзошла число В:

Вслед за ними выпишем отрицательные члены (в том порядке, в каком они расположены в данном ряде), взяв их столько, чтобы общая сумма стала меньше В:

После этого снова поместим положительные члены (из числа оставшихся) так, чтобы было

Затем наберем столько отрицательных членов (из числа оставшихся), чтобы было

и т. д. Процесс этот мы мыслим продолженным до бесконечности; очевидно, каждый член ряда (А), и притом со своим знаком, встретится на определенном месте.

Если всякий раз, выписывая члены или набирать их не больше, чем необходимо для осуществления требуемого неравенства, то уклонение от числа В в ту или другую сторону не превзойдет по абсолютной величине последнего написанного члена. Тогда из (2) ясно, что ряд

имеет своей суммой В. В силу замечания п° 386, это останется верным и после раскрытия скобок.

Если то, взяв последовательность возрастающих до бесконечности чисел можно было бы набор положительных чисел подчинить требованию, чтобы суммы последовательно становились больше и т. д., а из отрицательных членов помещать лишь по одному после каждой группы положительных. Таким путем, очевидно, составился бы ряд, имеющий сумму Аналогично можно получить и ряд с суммой -

Установленный результат подчеркивает тот факт, что неабсолютная сходимость осуществляется лишь благодаря взаимному погашению положительных и отрицательных членов, и потому существенно зависит от порядка, в котором они следуют один за другим, между тем, как абсолютная сходимость основана на быстроте убывания этих членов - и от порядка их не зависит.

Примеры. 1) Рассмотрим заведомо неабсолютно сходящийся ряд:

сумма которого, как легко показать [см. 2)], есть Переместим его члены так, чтобы после одного положительного следовали два отрицательных:

мы утверждаем, что сумма ряда от такого перемещения уменьшится вдвое.

В самом деле, если обозначить частичные суммы этих двух рядов, соответственно, через то

так что . Так как

стремится к тому же пределу — то ряд (5) сходится и имеет суммой именно это число.

2) Более общий результат можно получить, если исходить из формулы для частичной суммы гармонического ряда [367 (4)]

где С есть эйлерова постоянная, а - бесконечно малая. Отсюда, прежде всего, имеем

Расположим теперь члены ряда (4) в таком порядке: сначала поместим положительных и q отрицательных, потом снова положительных и q отрицательных и т. д. Для того чтобы определить сумму ряда

нам удобнее объединить последовательные группы из или q членов. Частичная сумма полученного таким путем ряда равна

и стремится к пределу к тому же пределу стремится и сумма Наконец, в силу замечания п° 386, и ряд (6) будет иметь суммой это же число

В частности, для ряда (4) получается для ряда (5), как и в 1), Аналогично:

Заметим, что если численность последовательных групп положительных и отрицательных членов еще изменять от группы к группе, то легко закон этого изменения подобрать так, чтобы для преобразованного ряда действительно получить любую наперед заданную сумму. Предоставляем читателю убедиться в этом.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление