Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

389. Умножение рядов.

О почленном сложении (или вычитании) двух сходящихся рядов, равно как о почленном умножении сходящегося ряда на постоянный множитель - уже была речь в 364, 3° и 4°. Теперь мы займемся вопросом об умножении рядов.

Пусть даны два сходящихся ряда:

и

Подражая правилу умножения конечных сумм, рассмотрим и здесь всевозможные парные произведения членов этих рядов: из них составится бесконечная прямоугольная матрица:

Эти произведения можно многими способами располагать в виде простой последовательности. Например, можно выписывать произведения по диагоналям или по квадратам:

что, соответственно, приводит к последовательностям:

или

Составленный из подобной последовательности ряд называется произведением рядов (А) и (В).

Теорема Коши. Если оба ряда (А) и (В) сходятся абсолютно, то их произведение, составленное из произведений (7), взятых в любом порядке, также сходится и имеет своей суммой произведение сумм АВ.

Доказательство. По предположению, ряды

и

сходятся, т. е. имеют конечные суммы, скажем, А и В.

Расположив произведения (7) произвольным образом в виде последовательности, составим из них ряд:

Чтобы доказать сходимость соответствующего ряда из абсолютных величин:

рассмотрим его частичную сумму; если через обозначить наибольший из значков то, очевидно,

Отсюда [365] вытекает сходимость ряда (11), следовательно, и абсолютная сходимость ряда (10).

Остается определить его сумму. Мы вправе придать членам ряда (10) более удобное для этого расположение, ибо ряд этот, как абсолютно сходящийся, обладает переместительным свойством [387]. Разместив эти члены по квадратам, как в (9), мы объединим последовательные группы, которые отличают один квадрат от другого

Если через как обычно, обозначить частичные суммы рядов (А) и (В), то для ряда (12) частичные суммы будут

они стремятся к произведению АВ, которое, таким образом, является не только суммой ряда (13), но и ряда (10).

При фактическом умножении рядов чаще всего представляется удобным размещать произведения (7) по диагоналям, как в (8); обычно члены, лежащие на одной диагонали, при этом объединяются:

В этом именно виде Коши впервые и представил произведение двух рядов. Так, написанный ряд мы впредь будем называть произведением рядов (А) и (В) в форме Коши.

Пусть, например, перемножаются два степенных ряда

[причем взято внутри соответствующих промежутков сходимости, 379]. Тогда, как нетрудно сообразить, указанный прием отвечает приведению подобных членов в произведении:

Таким образом, произведение двух степенных рядов в форме Коши непосредственно представляется в виде степенного же ряда.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление