391. Общая теорема из теории пределов.

Для упрощения изложения в ближайшем п° и в последующем мы установим здесь одну теорему из теории пределов, дающую широкое обобщение известных теорем Коши и Штольца [33]. Эта теорема принадлежит Теплицу Мы докажем ее в два приема.

I. Предположим, что коэффициенты бесконечной треугольном матрицы

удовлетворяют двум условиям:

(а) Элементы, стоящие в любом столбце, стремятся к нулю:

(б) Суммы абсолютных величин элементов, стоящих в любой строке, ограничены все одной постоянной:

Тогда, если варианта , то это же справедливо и относительно варианты

составленной из значений исходной варианты с помощью коэффициентов матрицы (15).

Доказательство. По найдется такое что при будет: для этих имеем, используя (б):

Так как здесь уже постоянно, то - ввиду (а) — существует такое что при и первое слагаемое справа будет следовательно, что и

II. Пусть коэффициенты кроме условий (а) и удовлетворяют еще условию:

Тогда, если варианта (а - конечно), то также и

Доказательство. Выражение для очевидно, можно переписать так:

Применяя теорему I к варианте и опираясь на (в), непосредственно приходим к требуемому заключению.

1°. Теорема Коши [33] отсюда получается, если положить

Выполнение условий (а), (в) очевидно.

2°. Обратимся к теореме Штольца [33], сохраняя прежние обозначения. Итак, пусть имеем две варианты из которых вторая стремится монотонно к Предположим, что варианта

и применим к ней теорему II, полагая . Выполнение условий (а), (б), (в) легко проверяется. Тогда получим, что варианта

Приведем ряд других полезных следствий теоремы Теплица.

3°. Пусть даны две варианты причем вторая из них удовлетворяет условию:

Тогда и варианта

Простое применение теоремы I при Если варианта , а варианта , то варианта

Пусть сначала а и требуется доказать, что Это просто вытекает из следствия 3°, если заменить в нем на Условие, наложенное там на легко проверяется с учетом того, что здесь ограничено:

Обращаясь к общему случаю, перепишем в виде

Первое слагаемое справа стремится к 0, по только что доказанному. Второе же слагаемое стремится к ибо множитель при а имеет пределом по теореме Коши (1°).

Применяем теорему II, полагая

Так как то условие (а) выполнено. Выполнение условий вытекает непосредственно из того, что

6°. Если то и

Это - простое обобщение предыдущего утверждения, и доказывается оно аналогично. Можно коэффициенты расположить и в обратном порядке, так что и