391. Общая теорема из теории пределов.
Для упрощения изложения в ближайшем п° и в последующем мы установим здесь одну теорему из теории пределов, дающую широкое обобщение известных теорем Коши и Штольца [33]. Эта теорема принадлежит Теплицу
Мы докажем ее в два приема.
I. Предположим, что коэффициенты
бесконечной треугольном матрицы
удовлетворяют двум условиям:
(а) Элементы, стоящие в любом столбце, стремятся к нулю:
(б) Суммы абсолютных величин элементов, стоящих в любой строке, ограничены все одной постоянной:
Тогда, если варианта
, то это же справедливо и относительно варианты
составленной из значений исходной варианты с помощью коэффициентов матрицы (15).
Доказательство. По
найдется такое
что при
будет:
для этих
имеем, используя (б):
Так как
здесь уже постоянно, то - ввиду (а) — существует такое
что при
и первое слагаемое справа будет
следовательно,
что и
II. Пусть коэффициенты
кроме условий (а) и
удовлетворяют еще условию:
Тогда, если варианта
(а - конечно), то также и
Доказательство. Выражение для
очевидно, можно переписать так:
Применяя теорему I к варианте
и опираясь на (в), непосредственно приходим к требуемому заключению.
1°. Теорема Коши [33] отсюда получается, если положить
Выполнение условий (а),
(в) очевидно.
2°. Обратимся к теореме Штольца [33], сохраняя прежние обозначения. Итак, пусть имеем две варианты
из которых вторая стремится монотонно к
Предположим, что варианта
и применим к ней теорему II, полагая
. Выполнение условий (а), (б), (в) легко проверяется. Тогда получим, что варианта
Приведем ряд других полезных следствий теоремы Теплица.
3°. Пусть даны две варианты
причем вторая из них удовлетворяет условию:
Тогда и варианта
Простое применение теоремы I при
Если варианта
, а варианта
, то варианта
Пусть сначала а
и требуется доказать, что
Это просто вытекает из следствия 3°, если заменить в нем
на
Условие, наложенное там на
легко проверяется с учетом того, что здесь
ограничено:
Обращаясь к общему случаю, перепишем
в виде
Первое слагаемое справа стремится к 0, по только что доказанному. Второе же слагаемое стремится к
ибо множитель при а имеет пределом
по теореме Коши (1°).
Применяем теорему II, полагая
Так как
то условие (а) выполнено. Выполнение условий
вытекает непосредственно из того, что
6°. Если
то и
Это - простое обобщение предыдущего утверждения, и доказывается оно аналогично. Можно коэффициенты расположить и в обратном порядке, так что и