Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Повторные и двойные ряды

393. Повторные ряды.

Пусть задано бесконечное множество чисел

зависящих от двух натуральных значков. Представим себе их расположенными в виде бесконечной прямоугольной матрицы:

Такого рода матрица носит название бесконечной прямоугольной матрицы с двумя входами.

Теперь остановимся на одном понятии, связанном с рассмотрением матриц вида (1) - понятии повторного ряда.

Если в бесконечной прямоугольной матрице просуммировать каждую строку отдельно, то мы получим бесконечную последовательность рядов вида

Просуммировав теперь эту последовательность вторично, будем иметь

Полученный символ и носит название повторного ряда. Если заменить строки столбцами, т. е. если суммировать члены нашей бесконечной матрицы по столбцам, то мы получим второй повторный ряд

Повторный ряд (3) называется сходящимся, если, во-первых, сходятся все ряды по строкам (2) (их суммы, соответственно, обозначим через и, во-вторых, сходится ряд

его сумма и будет суммой повторного ряда (3). Легко перефразировать все это и для ряда (4).

Элементы матрицы (1) можно многими способами представить в виде обыкновенной последовательности

и по ней составить простой ряд

[Об этом мы уже говорили в связи с частного типа матрицей (7) п° 389]. Обратно, если имеем обыкновенную последовательность (5), то разбив все ее члены (не считаясь с их расположением) на бесконечное множество бесконечных групп, можно ее представить многими способами в виде матрицы с двумя входами (1), и по этой матрице составить повторный ряд (3). Естественно встает вопрос о связи между рядами (6) и (3), состоящими из одних и тех же членов.

Теорема 1. Если ряд (6) сходится абсолютно к сумме то, как бы его члены ни расположить в виде матрицы (1), сходится и повторный ряд (3), причем имеет ту же сумму. Доказательство. Ряд

по предположению, сходится; обозначим его сумму через

Тогда, прежде всего, при любых

откуда следует сходимость ряда , а значит и сходимость ряда [377] (при любом к).

Далее, для любого числа найдется такое что

следовательно, и подавно

Члены ряда (6) содержатся в первых строках и первых столбцах матрицы (1), если пат достаточно велики, скажем, при Тогда для указанных пат выражение

представляет сумму группы членов с номерами, большими и ввиду (7) по абсолютной величине Переходя к пределу при получим (для

так что - в связи с (8) -

откуда следует сходимость повторного ряда (3), и именно к сумме

Замечание. Некоторые строки матрицы (1) могут состоять и из конечного числа членов; легко распространить результат и на этот случай.

Если вспомнить, что в 386 мы разбивали члены простого ряда лишь на конечные группы, не нарушая при этом их расположения, то станет ясно, что теорема 1 формулирует далеко идущее распространение (совместно) сочетательного и переместительного свойства абсолютно сходящегося ряда.

Обратная теорема имеет место лишь при усилении предположений о повторном ряде.

Теорема 2. Пусть дан повторный ряд (3). Если по замене его членов их абсолютными величинами получается сходящийся ряд, то сходится не только ряд (3), но и простой ряд (6), состоящий из тех же членов, что и ряд (3), расположенных в любом порядке, и притом к той же сумме.

Доказательство. По предположению ряд

сходится; пусть А - его сумма. При любых пит, имеем

Возьмем теперь произвольную частичную сумму ряда :

При достаточно больших , члены будут содержаться в первых строках и первых столбцах матрицы (1). Тогда из (9) следует, что

и ряд сходится, т. е. ряд (6) сходится абсолютно.

Остается применить теорему 1.

Так как, очевидно, все сказанное о повторном ряде (3) справедливо и для повторного ряда (4), то как следствие из доказанных теорем получается следующее важное предложение, которое часто бывает полезно.

Теорема 3. Пусть дана матрица (1). Если по замене членов ряда (3) их абсолютными величинами получается сходящийся ряд, то сходятся оба повторных ряда (3), (4) и имеют ту же сумму:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление