Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

275. Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей.

Таким образом, зная разложение (3), мы тем самым знаем знаменатели тех простых дробей, на которые разлагается данная дробь Остановимся на вопросе об определении числителей, т. е. коэффициентов Так как числители группы дробей (5) содержат к коэффициентов, а числители группы дробей коэффициентов, то ввиду (4) всего их будет

Для определения упомянутых коэффициентов обычно прибегают к методу неопределенных коэффициентов, который состоит в следующем. Зная форму разложения дроби пишут его с буквенными коэффициентами в числителях справа. Общим знаменателем всех простых дробей, очевидно, будет складывая их, получим правильную дробь. Если отбросить теперь слева и справа знаменатель то придем к равенству двух многочленов степени, тождественному относительно х. Коэффициентами при различных степенях многочлена справа будут линейные однородные многочлены относительно коэффициентов, обозначенных буквами; приравнивая их соответствующим численным коэффициентам многочлена Р, получим, наконец, систему линейных уравнений, из которых буквенные коэффициенты и определятся. Ввиду того, что возможность разложения на простые дроби наперед установлена, упомянутая система никогда не может оказаться противоречивой.

Больше того, так как упомянутая система уравнений имеет решение, каков бы ни был набор свободных членов (коэффициентов многочлена Р), то ее определитель необходимо будет отличен от нуля. Иными словами, система всегда оказывается определенной. Это простое замечание попутно доказывает и единственность

разложения правильной дроби на простые дроби. Поясним сказанное примером.

Пусть дана дробь Согласно общей теореме, для нее имеется разложение

Коэффициенты определим, исходя из тождества

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, придем к системе из пяти уравнений

откуда

Окончательно

Алгебраический факт, который мы только что установили, имеет непосредственное применение к интегрированию рациона льных дробей. Как мы видели в 273, простые дроби интегрируются в конечном виде. Теперь мы то же можем сказать о любой рациональной дроби. Если всмотреться в те функции, через которые выражаются интегралы от целого многочлена и от правильных дробей, то можно сформулировать более точный результат:

Интеграл от любой рациональной функции выражается в конечном виде - с помощью рациональной же функции, логарифма и арктангенса.

Например, возвращаясь к только что рассмотренному примеру и вспоминая формулы п° 273, имеем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление