Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

394. Двойные ряды.

С бесконечной прямоугольной матрицей (1) связано и понятие двойного ряда. Так называется символ

Ограничившись первыми от столбцами и первыми и строками, рассмотрим конечную сумму

называемую частичной суммой данного двойного ряда. Станем увеличивать числа тип одновременно, но независимо друг от друга, устремляя их к бесконечности. Предел (конечный или бесконечный)

называют суммой двойного ряда, и пишут

Если ряд (10) имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном же случае — расходящимся.

Вернемся для примера к матрице (7) предыдущего параграфа, с общим членом

В этом случае частичная сумма, очевидно, равна (если сохранить прежние обозначения)

так что двойной ряд, соответствующий упомянутой матрице, всегда сходится и имеет сумму

На двойные ряды легко перенести теоремы [364, 3° и 4°] об умножении членов сходящегося ряда на постоянное число и о почленном сложении или вычитании двух сходящихся рядов; предоставляем сделать это читателю.

Точно так же для сходимости двойного ряда необходимо стремление к 0 общего члена:

[ср. 364, 5°]. Это сразу видно из формулы

Естественно сопоставить двойной ряд (10) с повторными рядами (3) и (4), рассмотренными выше. Так как

то, переходя здесь при фиксированном к пределу при (в предположении, что ряды по строкам сходятся), получим

Теперь ясно, что сумма повторного ряда (3) есть не что иное, как повторный предел

Вопрос же о равенстве сумм двух повторных рядов (3) и (4) является частным случаем вопроса о равенстве двух повторных пределов.

Применяя к рассматриваемому случаю общую теорему п° 168 о двойном и повторном пределах, придем к результату:

Теорема 4. Если 1) сходится двойной ряд (10) и 2) сходятся все ряды по строкам, то сходится повторный ряд (3) и имеет ту же сумму, что и двойной ряд

Аналогичная теорема имеет место и для второго повторного ряда (4).

Вопрос о сходимости двойного ряда (10) просто решается для случая положительного ряда, т. е. ряда с неотрицательными членами:

Теорема 5. Для сходимости ряда (10), если необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограничены.

Доказательство. Необходимость этого утверждения ясна. Докажем достаточность. Пусть Возьмем точную верхнюю границу множества сумм

и покажем, что она и будет являться суммой нашего ряда.

Зададим любое По определению точной верхней границы, можно найти такую частичную сумму что

Если взять то и подавно

так как с возрастанием обоих значков очевидно, возрастает.

Так как всякая частичная сумма не превосходит А, то можно написать, что

а это и означает, что

т. е. ряд (10) сходится.

На основе этой теоремы можно установить теорему о сравнении положительных двойных рядов, аналогичную теореме 1 п° 366; предоставляем это читателю.

Рассмотрим теперь двойной ряд, составленный из матрицы, в которой не все элементы положительны. Очевидно, что, как для простых рядов, мы можем исключить из рассмотрения те случаи, когда все элементы матрицы отрицательны или когда есть только конечное число положительных или отрицательных элементов, так как все эти случаи непосредственно приводятся к только что рассмотренному. Поэтому мы предположим, что в рассматриваемой матрице (1), а значит и в ряде (10), есть бесконечное множество как положительных, так и отрицательных элементов.

Кроме матрицы (1), составим еще матрицу из абсолютных величин элементов.

и по этой матрице составим двойной ряд

Подобно теореме п° 377 о простых рядах, и здесь имеет место Теорема 6. Если сходится ряд (10, составленный из абсолютных величин членов данного ряда (10), то и данный ряд сходится. Доказательство. Представим а в виде:

где

Так как , то из сходимости двойного ряда (10 вытекает сходимость двойных рядов

Но тогда сходится и ряд

а именно имеет сумму

Если одновременно с рядом (10) сходится и ряд (10, то ряд (10) называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (10) сходится, а ряд (10 расходится, то ряд (10) называется неабсолютно сходящимся.

Докажем теперь теорему о связи между двойным рядом (10) и простым рядом (6), состоящим из тех же членов. Она аналогична теоремам 1 и 2.

Теорема 7. Пусть даны двойной ряд (10) и простой ряд (6), состоящие из одних и тех же членов. Тогда абсолютная сходимость

одного из них влечет за собой абсолютную же сходимость другого и равенство их сумм.

Доказательство. Предположим сначала, что сходится абсолютно двойной ряд (10), т. е. сходится ряд (10; сумму последнего обозначим через А. Взяв любое натуральное число составим частичную сумму ряда (6):

Как и при доказательстве теоремы 2, легко устанавливается неравенство а с ним и абсолютная сходимость ряда (6).

Пусть теперь дано, что сходится абсолютно простой ряд (6), т. е. сходится ряд (6; его сумму обозначим через Какую бы частичную сумму

ряда ни взять, найдется столь большое что все слагаемые этой суммы будут содержаться среди первых членов ряда (6, так что

В таком случае, по теореме 5, двойной ряд (10 сходится, а значит ряд (10) сходится абсолютно.

Наконец, для вычисления суммы ряда (6) - ввиду его абсолютной сходимости - можно члены его расположить в любом удобном для этой цели порядке [387]. Мы расположим их по квадратам схемы (1); тогда, если еще объединить члены, отличающие один квадрат от следующего за ним, получится:

что и завершает доказательство.

Сопоставляя теоремы 1, 2 и 7, сформулируем, в заключение, такое

Следствие. Пусть матрица (1) и последовательность (5) состоят из одних и тех же членов. Тогда двойной ряд (10), повторные ряды (3), (4) и, наконец, простой ряд (6) - если хоть один из них оказывается сходящимся по замене его членов их абсолютными величинами - все четыре сходятся и имеют одну и ту же сумму.

В случае положительных рядов (т. е. при очевидно, достаточно сходимости одного из указанных рядов, чтобы сходились все четыре и притом к одной и той же сумме.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление