Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

396. Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости.

Степенным рядом с двумя переменными х, у называется двойной ряд вида

расположенный по целым положительным степеням переменных х и у. Как мы сделали это в 379 по отношению к простым степенные рядам, мы и здесь поставим себе задачей выяснить вид «области димости» ряда (14), т. е. множества тех точек плоско для которых ряд сходится.

Лемма. Если ряд (14) сходится в некоторой точке коор динаты которой обе отличны от 0, то он абсолютно дится во всех точках удовлетворяющих неравенствам: (т. е. во всем открытом прямоугольнике с центром в начале координат и с вершиной в точке М).

Доказательство вполне аналогично доказательству леммы п° 37 Из ограниченности членов ряда (14) при

получается

так что - если только - справа мы имеем общий член сходящегося ряда [395, 8)]; отсюда и следует абсолютна сходимость ряда (16).

Мы станем изучать лишь такие ряды, для которых подобные точки М существуют - другие ряды для нас не представляют интерес Самый характер леммы позволяет нам ограничиться рассмотрение лишь первого координатного угла; полученные результаты - по симметрии - легко можно будет распространить и на остальные углы.

Возьмем же в первом угле луч исходящий из начала, под углом в к оси х (рис. 55). Как и в 379, пользуясь леммой, можно показать, что найдется такое положительное число (которое может оказаться и бесконечным), что во всех точках М на этом луче для которых

ряд (14) сходится абсолютно, в то время как при условии

он расходится.

Если хоть для одного луча то, в силу леммы, ряд оказывается сходящимся (и притом - абсолютно) на всей плоскости, которая и играет роль «области сходимости»

Исключим теперь этот случай всюду сходящегося ряда. Тогда будет конечной функцией от , и на каждом луче OL найдется пограничная точка для которой

Она отделяет точки М луча, в которых ряд (абсолютно) сходится, от точек, где он расходится; в самой точке смотря по случаю может иметь место и сходимость, и расходимость.

Рис. 55.

Если провести через вертикаль и горизонталь (см. рисунок), то внутри прямоугольника ряд заведомо сходится, а внутри угла - заведомо расходится (по лемме!). Поэтому на новом луче отвечающем какому-нибудь другому углу в, вдоль будет сходимость, а вдоль - расходимость. Следовательно, пограничная точка на этом луче должна лежать между и Отсюда легко усмотреть, что, при изменении в от 0 до изменяется непрерывным образом, так что точка описывает в первом координатном угле непрерывную пограничную кривую.

Так как при уменьшении в абсцисса точки не убывает, а ордината ее не возрастает, то обе имеют предельные значения при Тогда, очевидно, имеет предельное значение и Если этот предел

конечен, то, точка стремится к некоторой предельной точке на оси х, в противном же случае пограничная кривая имеет асимптоту, параллельную оси х (которая может совпадать и с самой осью х).

Легко перефразировать все сказанное и для случая, когда меняя ролями оси х и у.

Замечание. Не следует, однако, думать, что предельная точка о которой только что шла речь, необходимо совпадает с пограничной точкой на самой оси х. Точка может оказаться и правее М (и даже лежать в бесконечности). Возможность эта не должна удивлять читателя, ибо лемма и построение на ней рассуждения относятся лишь к точкам вне координатных осей.

Дополним теперь построенную в первом координатном угле кривую симметричными ей (относительно обеих осей и начала координат) кривыми в остальных углах. Таким путем мы получим полную пограничную кривую, которая в существенном и определит интересующую нас «область сходимости» в той части плоскости, которая извне ограничена этой кривой, ряд (14) сходится (и притом абсолютно), во внешней части плоскости ряд расходится, в точках же самой пограничной кривой может иметь место как сходимость, так и расходимость.

Рассмотрим примеры.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление