Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

397. Примеры.

1) Для ряда

как мы видели в 395, 8), «область сходимости» сводится к открытому прямоугольнику (рис. 56), в пределах которого суммой его будет

Рис. 56.

2) Для аналогично ряда

(где указатели к изменяются, начиная от 1) «область сходимости» будет состоять из этого же прямоугольника, но с присоединением обеих координатных осей. В этом случае, хотя пограничная точка о которой речь шла выше, и стремится при 00 к предельной точке на оси х, но сходимость имеет место на всей этой оси (см. замечание).

очевидно, абсолютно сходится на всей плоскости.

4) Для того чтобы сходился абсолютно ряд

т. е. сходился ряд

необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд

который получается из предыдущего суммированием по диагоналям. Это приводит нас к условию Следовательно, здесь «область сходимости» представляет собой косо поставленный квадрат с вершинами в точках (рис. 57).

Рис. 57.

Рис. 58.

5) Рассмотрим, в заключение, следующий двойной ряд:

Если, предположив его абсолютную сходимость, просуммировать его по строкам, то получим:

Отсюда ясно, что для абсолютной сходимости необходимо: вместе с тем, эти неравенства и достаточны. «Область сходимости» изображена на рис. 58; кривые на ней - равнобочные гиперболы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление