Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

401. Основные теоремы. Связь с рядами.

Отбросив в бесконечном произведении (2) первые членов, получим остаточное произведение

которое вполне аналогично остатку бесконечного ряда.

1°. Если сходится произведение (2), то сходится, при любом и произведение (4); обратно, из сходимости произведения (4) вытекает сходимость исходного произведения (2).

Доказательство предоставляем читателю [ср. 364, 1°].

Таким образом, и в случае бесконечного произведения отбрасывание конечного числа начальных множителей или присоединение вначале нескольких новых множителей на его поведении не отражается. 2°. Если бесконечное произведение (2) сходится, то

[см. (4)]

Это следует из равенства

и из того, что стремится к

3°. Если бесконечное произведете (2) сходится, то

Действительно, вместе с стремится к Р,

Не перечисляя других свойств бесконечных произведений, аналогичных свойствам бесконечных рядов, мы обратимся к установлению связи между сходимостью бесконечных произведений и рядов, что позволит нам непосредственно использовать для произведений подробно развитую для рядов теорию.

В случае сходящегося произведения, множители начиная с некоторого места, будут положительны (3°). Впрочем, ввиду 1°, мы не нарушим общности, если будем впредь предполагать все

4°. Для того чтобы бесконечное произведение сходилось, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд

При выполнении этого условия, если есть сумма ряда, имеем

Обозначив через частичную сумму ряда (5), будем иметь:

Из непрерывности логарифмической и показательной функций теперь следует, что если стремится к конечному положительному пределу Р, то стремится к , и обратно - если имеет конечный предел то для пределом будет

При исследовании сходимости бесконечного произведения (2) часто представляется удобным, полагая

записывать его в виде

а ряд (5) - в виде

В этих обозначениях имеем простую теорему:

5°. Если, по крайней мере для достаточно больших будет

то для сходимости произведения (2 необходима и достаточна сходимость ряда

Так как для сходимости как произведения (2) так и ряда (6) во всяком случае необходимо, чтобы было

[см. 3°], то предположим это условие выполненным. Тогда имеет место соотношение

[77, 5) (а)]. В таком случае, ввиду того, что члены обоих рядов (5 и (6), начиная с некоторого места, сохраняют определенный знак, по теореме 2 п° 366 эти ряды сходятся или расходятся одновременно. Отсюда, в связи с 4°, и следует наше утверждение.

Возвращаясь к общему случаю докажем еще такое предложение:

6°. Если, вместе с рядом (6), сходится и ряд

то бесконечное произведение (2 сходится.

В самом деле, из (8) прежде всего следует (7). Вспоминая разложение функции по формуле Тейлора [125, 5)], имеем:

так что

По теореме 2 п° 366 сходимость ряда (8) влечет за собой сходимость ряда

Так как ряд (6) предположен сходящимся, то отсюда следует сходимость и ряда (5, как разности двух сходящихся рядов. Остается применить предложение 4°.

Остановимся бегло на случае, когда бесконечное произведение «расходится» к 0.

7°. Для того чтобы бесконечное произведение или (2] имело нулевое значение, необходимо и достаточно, чтобы ряд (5) или имел суммой -

В частности, это будет так, если и ряд (6) расходится, или если ряд (6) сходится, но расходится ряд (8).

Предоставляем доказательство читателю. Лишь по поводу последнего предположения заметим, что из расходимости ряда (8), в силу (9), вытекает расходимость ряда (10), который будет иметь суммой . А тогда, ввиду сходимости ряда (6), ясно, что суммой ряда (5 будет

В заключение используем связь между произведением (2) [или (2] и рядом (5) [или (5] для установления понятия абсолютной сходимости бесконечного произведения. Произведение называют абсолютно сходящимся именно в том случае, когда абсолютно сходится соответствующий ряд из логарифмов его множителей.

Исследования и 388 сразу же позволяют заключить, что абсолютно сходящиеся произведения обладают переместительным свойством, в то время как неабсолютно сходящиеся заведомо им не обладают.

Легко доказать по образцу 5°, что

8°. Для абсолютной сходимости произведения (2 необходима и достаточна абсолютная же сходимость ряда (6).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление