Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

402. Примеры.

1) Применим доказанные теоремы к бесконечным произведениям:

сходится при и расходится при в согласии с таким же поведением ряда аналогично, сходится (5°), а при расходится к нулю (7°).

сходится: именно, при произведение абсолютно сходится, поскольку сходится ряд при произведение неабсолютно сходится, так как сходятся ряды наконец, при значение произведения есть 0, ибо первый из этих рядов сходится, а второй уже нет (7°).

2) Пусть произвольная варианта, содержащаяся в промежутке Тогда произведения

сходятся или нет, смотря по тому, сходится ли ряд или нет.

Предположим сначала, что варианта тогда эти заключения вытекают и 7°, если воспользоваться разложениями [125, 2) и 3)]

Если же к 0 не стремится, то одновременно и ряд расходится, и оба произведения имеют нулевые значения.

3) Из теории бесконечных произведений легко получить теорему Абеля: если данный положительный ряд, и означает его частичную сумму, то ряд — сходится или расходится одновременно с данным [ср. 375, 4)]. В доказательстве нуждается лишь случай расходимости. Если то бесконечное произведение расходится к 0, а тогда (в силу 5°) ряд расходится.

4) Рассмотрим важное произведение

[ниже, в п° 408, мы увидим, что оно представляет функцию Пусть где

Его сходимость (конечно - абсолютная) сразу вытекает из сходимости ряда Если каждый множитель разложить на два и написать произведение в виде:

то - так как - сходимость при указанном расположении множителей сохранится, сохранится и значение произведения. Но

на этот раз сходимость станет неабсолютной, ввиду неабсолютной сходимости ряда

так что множители эти произвольно перемещать нельзя.

Заменим теперь каждый множитель — множителем легко видеть, что это не отразится ни на сходимости, ни на значении бесконечного произведения. В то же время новое произведение будет уже абсолютно сходящимся, ибо [125, 1)]

и множители, начиная с некоторого места, становятся положительными правильными дробями.

5) Доказать тождество (при

Указание. Сходимость обоих произведений устанавливается с помощью 5°. Представить первое из них в виде

6) Доказать, что (при

Для этого достаточно установить расходимость бесконечного произведения

или [см. 7°] расходимость ряда

А это легко вытекает из сравнения написанного ряда с гармоническим.

Замечание. Этот пример, равно как и следующие, получительны в том отношении, что показывают, как иной раз действительно выгодно сводить разыскание предела варианты (или последовательности) к исследованию бесконечного произведения, с использованием развитой для бесконечных произведений теории.

7) Вернемся к ряду который мы уже рассматривали в 370, 2) (д) и 378. 1) (д). Мы оставили открытым вопрос о поведении его на конце — его промежутка сходимости.

В этом случае получается знакопеременный ряд

члены которого по абсолютной величине монотонно убывают. Вспоминая теорему Лейбница [381], видим, что заключение о сходимости ряда зависит от наличия равенства

Так как отношение значения этой варианты к есть

то задачу можно представить в равносильной форме - разыскания значения бесконечного произведения

Логарифмируя, получим [125, 5)]

так что ряд логарифмов типа (5) расходится и имеет суммой В таком случае (7°) значение бесконечного произведения (а с ним - и искомый предел), действительно, есть 0. Ряд сходится.

8) Исчерпаем вопрос о поведении гипергеометрического ряда

[см. 372 и 378, 4)] при в предположении, что - (именно этот случай остался без рассмотрения).

Отношение коэффициента к здесь равно:

Для достаточно больших значений это отношение положительно; пусть тогда оно окончательно становится меньшим единицы. Таким образом,

если отвлечься от некоторого числа его начальных членов, оказывается знакопеременным, с монотонно убывающими по абсолютной величине членами. И здесь нахождение предела (абсолютной величины) общего члена удобнее свести к определению значения бесконечного произведения:

Если (как мы предположили), то из (11), в силу 7°, следует, что это произведение имеет значение 0: ряд сходится.

В случае же, когда формула (11) получит вид

по теореме 5°, значение бесконечного произведения отлично от 0, для ряда (12) нарушается необходимое условие сходимости, ряд расходится.

Мы, наконец, завершили исследование поведения гипергеометрического ряда. Результаты могут быть сведены в таблицу

9) Доказать, что ряд

сходится для всех значений х, если сходится хоть для одного нецелого значения [Стирлинг (Т. Stirling)].

Члены этого ряда отличаются от членов сходящегося ряда

множителями

которые при достаточно больших и изменяются монотонно.

Остается еще установить их ограниченность (ибо тогда можно будет применить признак Абеля), а для этой цели проще всего убедиться в сходимости бесконечного произведения

мы предоставляем это читателю.

10) Рассмотрим (вместе с Эйлером) бесконечное произведение

считая х отличным от нуля и от всех целых отрицательных чисел.

Легко представить его общий множитель так:

отсюда, в силу 8°, вытекает, что наше произведение (абсолютно) сходится. Определяемая им функция является (после элементарных) одной из важнейших рассматриваемых в анализе функций. Ниже [глава XIV, § 5] мы дадим другое определение этой функции и глубже изучим ее свойства.

Так как частичное произведение имеет вид

то можно положить и

Написав аналогичную формулу для легко видеть, что

и мы приходим к простому и важному соотношению:

Если положить х равным натуральному числу то получим рекуррентную формулу

Так как (что легко проверить), то отсюда

Еще одну важную формулу для функции Г мы получим, если перемножим почленно равенства

из которых первое следует из (13) и (15), а второе легко выводится из 400, 6). Мы найдем:

или

Это - формула Вейерштрасса.

11) Приведем замечательный пример преобразования бесконечного произведения в ряд, также принадлежащий Эйлеру. Если перенумеровать простые числа, в порядке возрастания:

то при имеет место тождество

или

так что это произведение представляет функцию Римана [365, 2)].

Имеем, по формуле для суммы геометрической прогрессии:

Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем простым числам, не превосходящим натурального числа то частичное произведение окажется равным

где штрих означает, что суммирование распространяется не на все натуральные числа, а лишь (не считая единицы) на те из них, которые в своем разложении на простые множители содержат только уже введенные простые числа (первые N натуральных чисел этим свойством, конечно, обладают). Отсюда и подавно

Ввиду сходимости ряда выражение справа, представляющее его остаток после члена, стремится к О при - переходя к пределу, и получим требуемый результат.

12) При соотношение (17) еще сохраняет силу, отсюда

так что при на этот раз т. е. произведение

расходится и имеет значение

В этом состоит данное Эйлером новое доказательство того, что множество простых чисел бесконечно (чем, по существу, в проведенном рассуждении мы не пользовались); ведь при конечности этого множества и произведение имело бы конечное значение. Если полученный результат переписать так:

то, в связи с 5°, можно заключить о расходимости ряда

Это важное предложение дает, сверх того, еще некоторую характеристику роста простых чисел. [Подчеркнем, что оно гораздо сильнее утверждения о расходимости гармонического ряда ибо здесь речь идет лишь о части его членов].

13) Аналогично может быть установлено тождество:

где знак плюс или минус в знаменателе левой части берется в зависимости от того, будет ли (нечетное) простое число вида или

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление