Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Разложения элементарных функций

403. Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора.

Мы уже рассматривали в 379 степенные ряды вида:

расположенные по степеням х. Если исключить «всюду расходящиеся» ряды, то для каждого такого ряда существует промежуток сходимости с центром в точке от до где радиус сходимости но может быть и бесконечным. Концы этого промежутка включаются или нет, смотря по случаю.

Рассматривают и степенные ряды более общего вида:

расположенные по степеням двучлена (вместо Такой ряд не разнится существенно от ряда вида (1), ибо приводится к нему простой заменой переменной: (с точностью до обозначения переменной). Для ряда (2) - если он не будет «всюду расходящимся» - также существует промежуток сходимости, но на этот раз с центром в точке от до Концы его, как и в случае ряда (1), могут принадлежать, но могут и не принадлежать промежутку.

В последующих параграфах мы детально изучим свойства степенных рядов, которые во многом уподобляются многочленам. Отрезками степенного ряда являются многочлены, что делает степенные ряды удобным средством для приближенных вычислений. В связи со всем этим приобретает большую важность вопрос о возможности наперед заданную функцию разложить по степеням (в частности, по степеням т. е. представить ее в виде суммы ряда типа (2) или (1).

Мы займемся здесь подобным разложением по отношению к элементарным функциям, причем путь к решению поставленного вопроса нам открывает формула Тейлора, подробно изученная в 124-126. В самом деле, предположим, что рассматриваемая функция в

промежутке или имеет производные всех порядков (тем самым - непрерывные). Тогда, как мы видели в 126, для всех значений х в этом промежутке имеет место формула

где дополнительный член может быть представлен в одной из указанных в п° 126 форм. При этом и мы можем брать сколь угодно большим, т. е. доводить это разложение до сколь угодно высоких степеней

Это естественно приводит к мысли о бесконечном разложении:

Такой ряд - независимо от того, сходится ли он и имеет ли, на самом деле, своей суммой - называется рядом Тейлора для функции Он имеет вид (2), причем коэффициенты его:

носят название коэффициентов Тейлора.

Так как разность между и суммой и членов ряда Тейлора, ввиду (3), есть как раз то, очевидно: для того чтобы при некотором значении х действительно имело место разложение (4), необходимо и достаточно, чтобы дополнительный член формулы Тейлора - при этом значении х - стремился к 0 с возрастанием

При исследовании вопроса, имеет ли место это равенство и при каких именно значениях х, нам и будут полезны различные формы дополнительного члена выявляющие его зависимость от .

Чаще всего приходится иметь дело со случаем, когда и функция разлагается в ряд непосредственно по степеням

этот ряд имеет вид (1), с коэффициентами:

Выпишем теперь подробнее дополнительный член применительно именно к этому частному предположению:

При этом о множителе в известно только то, что он содержится между 0 и 1, но он может меняться при изменении х или (и даже - при переходе от одной формы к другой).

Перейдем к конкретным разложениям.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление