Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

276. Выделение рациональной части интеграла.

Существует прием, принадлежащий М. В. Остроградскому, с помощью которого нахождение интеграла от правильной рациональной дроби значительно упрощается. Этот прием позволяет чисто алгебраическим путем выделить рациональную часть интеграла.

Мы видели [273], что рациональные члены в составе интеграла получаются при интегрировании простых дробей вида II и IV. В первом случае интеграл сразу можно написать

Установим теперь, какой вид имеет рациональная часть интеграла

Прибегнув к знакомой уже нам подстановке используем равенства (1), (2) и формулу приведения (6) п° 271 при Если вернуться к переменной х, то получим

где и означают некоторые постоянные коэффициенты. По этой же формуле, заменяя на для последнего интеграла найдем (если

и т. д., пока не сведем показатель трехчлена в интеграле справа к единице. Все последовательно выделяемые рациональные члены суть правильные дроби. Объединяя их вместе, получим результат вида

где R(x) - целый многочлен, степени низшей, чем знаменатель постоянная.

Пусть имеем правильную дробь которую будем предполагать несократимой, и пусть знаменатель ее разложен на простые множители [см. (3)]. Тогда интеграл от этой дроби представится в виде суммы интегралов от дробей вида (5) или (6). Если к (или больше единицы, то интегралы всех дробей группы (5) [или (6)], кроме первой, преобразуются по формуле (7) [или (8)]. Объединяя все эти результаты, окончательно придем к формуле вида

Рациональная часть интеграла получена от сложения выделенных выше рациональных частей; следовательно, прежде всего она является правильной дробью, а ее знаменатель имеет разложение

Что же касается дроби оставшейся под знаком интеграла, то она получилась от сложения дробей вида I и III, так что она также правильная и

Очевидно [см. (3)],

Формула (9) и называется формулой Остроградского. Дифференцируя, можно представить ее в равносильной форме

Мы видели, что многочлены легко находятся, если известно разложение (3) многочлена Но они могут быть определены и без этого разложения. Действительно, так как производная содержит все простые множители, на которые разлагается именно с показателями на единицу меньшими, то является наибольшим общим делителем и так что может быть определено по этим многочленам, например, по способу последовательного деления. Если известно, то определится простым делением на

Обратимся к определению числителей и в формуле (10). Для этого также пользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Обозначим через соответственно, степени многочленов так что тогда степени многочленов будут не выше Подставим в качестве многочлены степеней -1 и +1 с буквенными коэффициентами; всего этих коэффициентов будет , то есть Выполним в (10) дифференцирование

Покажем теперь, что первую дробь всегда можно привести к знаменателю сохраняя целым числитель. Именно

если Н означает частное . Но это частное можно представить в виде целого многочлена. Действительно, если при входит в состав то войдет в состав такое же заключение можно сделать и о множителе вида при Следовательно, числитель Н нацело делится на знаменатель, и впредь под Н можно разуметь целый многочлен (степени

Освобождаясь от общего знаменателя придем к тождеству двух многочленов (степени

Отсюда, как и выше, для определения введенных буквенных коэффициентов получим систему из линейных уравнений.

Так как возможность разложения (10) установлена, каково бы ни было Р, то упомянутая система должна быть совместной при любых свободных членах. Отсюда само собой вытекает, что определитель ее отличен от нуля, а значит - система необходимо оказывается определенной, и разложение (10) - при указанных знаменателях - возможно лишь единственным образом.

Пример. Пусть требуется выделить рациональную часть интеграла

Имеем

откуда

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях, получим систему уравнений, из которых и определятся неизвестные

Итак, искомый интеграл

В этом примере вычисление последнего интеграла легко было произвести сразу. В других случаях приходится снова разлагать на простые дроби. Можно, впрочем, и этот процесс объединить с предыдущим.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление