Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

404. Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических функций и др.

Докажем сначала следующее простое предложение, которым сразу будет охвачен ряд важных случаев:

Если функция в промежутке [0, Н] или имеет производные всех порядков, и все эти производные при изменении х в указанном промежутке оказываются по абсолютной величине ограниченными одним и тем же числом:

(где не зависит от то всем промежутке имеет место разложение (6).

В самом деле, взяв дополнительный член в форме Лагранжа [см. (8)], имеем, в силу (10):

При безграничном возрастании выражение стремится к 0, как мы видели в 35, 1); впрочем, это же [в силу 364, 5°] следует и из сходимости ряда

[370, 2) (а)]. Но в таком случае и имеет пределом 0, что и доказывает наше утверждение.

(а) Это предложение приложимо к функциям

в любом промежутке , ибо производные их, соответственно, равные

будут в нем по абсолютной величине ограничены числом - для функции и единицей - для

Так как коэффициенты Тейлора мы уже вычисляли для этих функций в 125, 1) — 3), то можем сразу написать разложения:

Все они имеют место при любом значении

Нетрудно подобным же образом получить разложения и для основных гиперболических функций, но проще, вспомнив их определение:

вывести эти разложения путем почленного вычитания или сложения ряда (11) и следующего ряда, который из него получается заменой х на

Таким путем мы находим:

(в) К функции доказанное вначале предложение уже не приложимо. Действительно, общее выражение для ее производной, найденное в 116, 8):

не гарантирует существования общей границы для всех

Так как соответствующий ряд Тейлора [см. 125, 6)]:

сходится лишь в промежутке [-1, 1], то вне этого промежутка не приходится уже говорить о выражении функции этим рядом. Наоборот, для имеем по формуле Лагранжа (8) [с учетом (14)]:

где Отсюда ясно, что так что для всех значений в промежутке имеет место разложение

Мы еще раз подчеркиваем, что хотя и вне этого промежутка имеет определенный смысл, но разложение (15) там уже не действительно, поскольку ряд не имеет суммы.

Из ряда (15) при в частности, получается знаменитый ряд Лейбница

- первый ряд, дающий разложение числа .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление