Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

405. Логарифмический ряд.

Если в качестве функции взять то соответствующий ряд Тейлора будет таков [125, 5)]:

Он сходится лишь для значений х в промежутке ; значит, только для этих значений и имеет смысл исследовать поведение дополнительного члена

Возьмем его сначала в форме Лагранжа (8). Так как

[116, 2] то

Если то последний множитель не превосходит единицы, и отсюда

Но при поведение этого множителя становится неясным, и приходится прибегнуть к форме Коши дополнительного члена [см. (9)].

Имеем

так что

Так как при будет , то последний множитель меньше единицы; следовательно, лишь только заведомо

Любопытно, что хотя форма Коши вполне исчерпывает вопрос для всех значений х между -1 и 1, она ничего не дает при в этом случае мы получаем

но ввиду возможности для 6 меняться вместе с нельзя заключить о том, что

Итак, по совокупности для всех значений х в промежутке ] действительно будет

В частности, при получаем уже знакомый нам ряд

Из ряда (17) можно вьюести и другие полезные разложения. Например, заменяя в нем х на и вычитая полученный ряд почленно из ряда (17) (при этом мы считаем придем к следующему ряду:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление