Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

406. Формула Стирлинга.

В качестве приложения покажем, как с его помощью может быть выведена одна важная формула анализа, носящая имя Стирлинга (J. Stirling).

Возьмем в где - произвольное натуральное число. Так как тогда

то мы получим разложение

которое можно переписать в виде:

Это выражение, очевидно, больше единицы, но меньше, чем

Итак, имеем:

откуда, потенцируя, найдем

Введем теперь варианту . Тогда

и из предыдущих неравенств следует, что

так что, с одной стороны, с другой же,

Таким образом с возрастанием и варианта убывает (оставаясь ограниченной снизу, например, нулем) и стремится к конечному пределу а, варианта же возрастает, стремясь, очевидно, к тому же пределу а (ибо Так как при любом и выполняются неравенства

то найдется такое число 0, заключенное между нулем и единицей, что

(Заметим, что число 0, вообще говоря, зависит от ). Вспоминая определение переменной находим:

Остается теперь определить величину постоянной а. С этой целью вспомним формулу Валлиса [317], которую можно записать в виде:

Выражение в скобках преобразуем следующим образом:

подставив сюда вместо его выражение по формуле (21), а вместо аналогичное выражение

после элементарных упрощений получим

так что

Отсюда:

Подставляя это значение а в формулу (21), мы и придем к формуле Стирлинга

которая позволяет легко оценивать величину факториала и! при больших значениях и.

Для упражнения предлагаем читателю фактически найти сумму ряда

сходимость которого была доказана в п° 367, 9) (б).

Указание. Вычислить частичную сумму и, преобразовав ее с помощью формулы Стирлинга, перейти к пределу. Отв.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление