Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

407. Биномиальный ряд.

Возьмем, наконец, где - любое вещественное число, отличное от 0 и от всех натуральных чисел (при натуральном получается известное конечное разложение

по формуле Ньютона). В этом случае ряд Тейлора имеет вид [125, 4)]:

его называют биномиальным рядом, а коэффициенты его - биномиальными коэффициентами. При сделанных относительно предположениях ни один из этих коэффициентов не будет нулем (наоборот, если бы было натуральным числом, то коэффициент при и все следующие обратились бы в нуль). С помощью признака Даламбера [377] легко установить, что при биномиальный ряд (абсолютно) сходится, а при расходится. Исследование дополнительного члена мы будем производить в предположении, что причем сразу возьмем его в форме Коши (9) (форма Лагранжа и здесь дает ответ не при всех значениях х).

Так как

то будем иметь:

Представим его, перегруппировав множители, в виде:

Первое из этих трех выражений представляет собой обшрй члегб биномиального же ряда, но отвечающего показателю так как при биномиальный ряд сходится, каков бы ни был показатель, то это выражение при стремится к нулю. Что же касается двух других выражений, то второе по абсолютной величине содержится между границами

не зависящими от , а третье, как и в 405, меньше единицы. Таким образом, , т. е. для имеет место разложение

которое также связано с именем Ньютона.

Мы не рассматривали вопроса о применимости его при значениях Легко сообразить, что биномиальный ряд есть частный случай гипергеометрического ряда и получается из последнего при и замене х на Вследствие этого, по таблице в 402, 8), легко составить такую таблицу, характеризующую поведение биномиального ряда на концах его промежутка сходимости:

Можно показать, что всякий раз, когда биномиальный ряд сходится, его суммой будет . Здесь мы на этом не останавливаемся, желая избежать кропотливого исследования дополнительного члена, так как этот результат просто вытекает из одной общей теоремы, которая будет доказана ниже [см. 437, 6°]. Отметим некоторые частные случаи биномиального ряда, отвечающие, например,

(обыкновенная геометрическая прогрессия), затем,

и

Важно подчеркнуть, что в случае рационального сумма биномиального ряда дает всегда арифметическое значение радикала.

Замечания. I. На этом построено, например, следующее любопытное разложение, принадлежащее Шлёмильху (О. Schlomilch). Прежде всего, полагая в где получим, что

А затем, вместо у подставим сюда выражение , где z изменяется уже между Окажется, что

Этот пример интересен тем, что для функции, определяемой в разных промежутках различными аналитическими выражениями дается в то же время и единое аналитическое выражение - в виде суммы ряда [ср. 46; 363, 5)].

II. Во всех рассмотренных выше примерах разложения функций в ряд Тейлора выходило так, что для всех значений х, при которых ряд сходился, его сумма равнялась той функции, для которой ряд был построен. Поэтому у читателя могло возникнуть подозрение, что вообще достаточно установить сходимость ряда, даже не проверяя соотношения (5), чтобы было обеспечено разложение (4) или (6).

На деле, однако, это не так. Если, например, вернуться к функции, рассмотренной в замечании п° 138:

то для нее, как мы видели, существуют даже при производные всех порядков, но все в этой точке обращаются в нуль. Ряд Тейлора вида (6) со сплошь нулевыми коэффициентами, конечно, сходится везде, но ни при одном значении х (кроме не воспроизводит значения исходной функции.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление