Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

408. Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения.

Мы познакомились выше с разложениями важнейших элементарных функций в бесконечные ряды, расположенные по степеням х, т. е. с представлением этих функций в виде «бесконечных многочленов». В заключение этого параграфа мы представим функции в виде бесконечных произведений, которые как бы осуществляют разложение на множители соответствующих «бесконечных многочленов».

Начнем с вывода одной вспомогательной формулы. Известна из алгебры формула Моавра:

где будем считать натуральным числом. Раскрыв слева скобки - по обычному правилу - и приравняв слева и справа коэффициенты при «мнимой единице» получим

Если нечетно, то, заменяя четные степени косинуса по формуле мы представим результат в виде:

где есть целый многочлен степени.

Этот многочлен, если через обозначить его корни, можно следующим образом разложить на множители

Корни и легко определить из (25), заметив, что если z обращает в нуль но оставляет отличным от нуля, то необходимо будет корнем многочлена Очевидно, значениям содержащимся между и идущим в порядке возрастания, отвечают возрастающие

же (следовательно, различные) корни:

Наконец, коэффициент определяется, как предел отношения при отсюда

Таким образом, приходим к формуле

Полагая , перепишем ее так:

Будем считать отличным от что Возьмем натуральное число к под условием: и пусть и будет Представим теперь в виде произведения:

где

содержит лишь к множителей в скобках, а

охватывает все остальные.

Пусть к пока фиксировано; легко найти предел при поскольку это выражение состоит из определенного конечного числа сомножителей. Так как

то

Ввиду (27), существует и предел

Займемся оценкой предела

Известно, что для имеют место неравенства

[54, (9); 133, 1)]. Поэтому

и

так что

Бесконечное произведение

выбрано так, чтобы было сходится, ибо сходится ряд [теорема 5°, 401]. Поэтому остаточное произведение

при должно стремиться к 1 [401, 2°]. Очевидно, мы лишь усилим второе из неравенств (28), если напишем

переходя (при фиксированном к) к пределу при - получим

Отсюда следует, что

и мы приходим, окончательно, к замечательному разложению:

впервые установленному Эйлером.

Оно имеет место, разумеется, и для исключенных ранее значений ибо тогда обе части этого равенства суть нули. Легко видеть, что отдельные множители как раз и отвечают различным корням

Если в полученном разложении положить , то найдем:

откуда снова вытекает формула Валлиса [317; ср. 400. 2)].

Укажем еще одно интересное применение этого разложения, которое, заменяя х на можно представить в виде:

Вспомним определение функции (13)]:

и соотношение [там же, (15)]. Тогда

Умножая, сразу приходим к так называемой формуле дополнения

также найденной Эйлером; она имеет место при любых нецелых значениях х.

Аналогично разложению выводится разложение

выявляющее корни Впрочем, оно может быть получено и из разложения по формуле

Наконец, упомянем о разложениях

которые также могут быть установлены с помощью сходных соображений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление