Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

410. Вычисление числа пи.

Воспользуемся известным рядом для арктангенса [404 (15)]:

Если взять то и мы получим ряд

уже пригодный для вычисления.

Вспоминая формулу сложения для арктангенса

и выбирая в качестве х и у какие-нибудь две правильные дроби, удовлетворяющие соотношению

будем иметь Например, положив , получим

Существуют, однако, ряды, еще более удобные для вычисления числа Положим , тогда

Ввиду близости этого числа к 1, ясно, что угол близок к положив будем иметь:

Отсюда

Это - формула Мэшина (J. Machin).

Вычислим по ней число с 7-ю знаками после запятой. Для этого достаточно тех членов формулы, которые фактически выписаны. Так как оба ряда - типа Лейбница, то поправки в уменьшаемом и вычитаемом на отбрасывание невыписанных членов, соответственно, будут:

Сохраненные члены обратим в десятичные дроби, округляя их (по правилу дополнения) на знаке. Вычисления сведены в таблицу в скобках указывает знак поправки):

Учитывая все поправки, имеем:

так что

Итак, окончательно, причем все выписанные знаки верны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление